如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的二次函数图象经
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如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的二次函数图象经
题型:不详
难度:
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如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的二次函数图象经过点B、D.
(1)用m的代数式表示点A、D的坐标;
(2)求这个二次函数关系式;
(3)点Q(x,y)为二次函数图象上点P至点B之间的一点,连接PQ、BQ,当x为何值时,四边形ABQP的面积最大?
答案
(1)A(3-m,0),D(0,m-3);(2)y=x
2
-2x+1;(3)当x=2时,四边形ABQP的面积最大为5.
解析
试题分析:(1)根据点C的坐标求出OC、BC的长度,再根据等腰直角三角形的两直角边相等可定的AC=BC,然后求出OA的长度,从而得到点A的坐标,再根据∠OAD=45°求出OD=OA,从而得到点D的坐标;
(2)利用顶点式设出二次函数解析式,然后把点B、D的坐标代入,根据待定系数法求解即可;
(3)根据抛物线解析式设出点Q的坐标,然后过点Q作QM⊥AC于点M,再根据S
四边形
ABQP
=S
△
ABC
-S
△
PQM
-S
梯形
BCMQ
,然后根据三角形的面积公式以及梯形的面积公式列式整理,再根据二次函数的最值问题求解即可.
(1)由B(3,m)可知OC=3,BC=m,
又∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=BC=m,OA=m-3,
∴点A的坐标是(3-m,0),
∵∠ODA=∠OAD=45°,
∴OD=OA=m-3,
则点D的坐标是(0,m-3);
(2)又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D,
所以可设抛物线的解析式为:y=a(x-1)
2
,
将D,B坐标代入:a(3-1)
2
=m,a(0-1)
2
=m-3,
得:a=1,m=4,
∴抛物线的解析式为y=x
2
-2x+1,
B坐标(3,4),A(-1,0);
(3)如图,过点Q作QM⊥AC于点M,
设点Q的坐标是(x,x
2
-2x+1),
则PM=(x-1),QM=x
2
-2x+1,MC=(3-x),
∴S
四边形
ABQP
=S
△
ABC
-S
△
PQM
-S
梯形
BCMQ
=-x
2
+4x+1
=-(x-2)
2
+5,
所以当x=2时,四边形ABQP的面积最大为5.
点评:本题是对二次函数的综合考查,点的坐标,等腰直角三角形的性质,待定系数法求函数解析式,二次函数的最值问题,以及三角形的面积,梯形的面积公式,难点在于用字母表示数,以及利用“割补法”求不规则图形的面积,需熟练掌握.
举一反三
如图,长方形
中,
cm,
cm,现有一动点
从
出发以2cm/秒的速度,沿矩形的边
回到点
,设点
运动的时间为
秒.
(1)当
秒时,求
的面积;
(2)当
为何值时,点
与点
的距离为5cm?
(3)当
为何值时
,以线段
、
、
的长度为三边长的三角形是直角三角形,且
是斜边.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的顶点坐标是( )
A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
题型:不详
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函数
的图象如图所示,则函数
的图象是( )
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数
的图象如图所示,则a___0,b___0,c___0,
____0;
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的对称轴为直线_______,顶点坐标为______,与
轴的交点坐标为________;
题型:不详
难度:
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