如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC
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如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC
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如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为
,数量关系为
.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=
,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
答案
(1)①CF与BD位置关系是
垂 直
、数量关系是
相 等
;
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.
由正方形ADEF得 AD="AF" ,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF="∠BAC" , ∴∠DAB=∠FAC,
又AB="AC" ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90º, AB="AC" ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,
∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º.即 CF⊥BD
(2)画图正确
当∠BCA=45º时,CF⊥BD(如图丁).
理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º. 即CF⊥BD
(3)当具备∠BCA=45º时,
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q,(如图戊)
∵DE与CF交于点P时, ∴此时点D位于线段CQ上,
∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD="x" ,∴ DQ=4—x,
容易说明△AQD∽△DCP,∴
, ∴
,
.
∵0<x≤3 ∴当x=2时,CP有最大值1.
解析
(1)首先选择图2证明,由AB=AC,∠BAC=90°,可得:△ABC是等腰直角三角形,又由四边形ADEF是正方形,易证得△ABD≌△ACF(SAS),即可求得:CF=BD,∠ACF=∠B=45°,证得CF⊥BD;
(2)过点A作AG⊥AC交BC于点G,可证△GAD≌△CAF,则∠ACF=∠AGD=45º,从而得∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º, 即CF⊥BD。
(3)首先作辅助线:过点A作AG⊥BC,垂足为G,连接CF,易得:△AGD∽△DCP,由相似三角形的对应边成比例,即可求得:AG•CP=GD•DC,在等腰Rt△AGC中求得AC的值,设GD=x,即可求得CP关于x的二次函数,求得最大值.
举一反三
烟花厂为扬州
烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度
与飞行时间
的关系式是
,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A.
B.
C.
D.
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如图,平面上一点P从点
出发,沿射线OM方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动,在运动过程中,以OP为对角线的矩形OAPB的边长
;过点O且垂直于射线OM的直线
与点P同时出发,且与点P沿相同的方向、以相同的速度运动.
(1)在点
运动过程中,试判断AB与y轴的位置关系,并说明理由.
(2)设点
与直线L都运动了t秒,求此时的矩形OAPB与直线
在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S(用含t的代数式表示).
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二次函数
的图象如图所示,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
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已知二次函数
的图象如图(1)所示,则直线
与反比例函数
,在同一坐标系内的大致图象为( )
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如图已知二次函数图象的顶点坐标为
,直线
的图象与该二次函数的图象交于
两点,其中
点坐标为
,
点在
轴上,直线与
轴的交点为
.
为线段
上的一个动点(点
与
不重合),过
作
轴的垂线与这个二次函数的图象交于
点.
(1)求
的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段
的长为
,点
的横坐标为
,求
与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(3)
为直线
与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段
上是否存在点
,使得以点
为顶点的三角形与
相似?若存在,请求出
点的坐标;若不存在,请说明理由.
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