已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。(1)设点P到x轴
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已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。(1)设点P到x轴
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线y=ax
2
+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。
(1)设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数关系式;
(2)若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式。
答案
解:(1)∵抛物线的顶点是C(0,1),∴b=0,c=1,
如图1,
∵a>0,直线l过点N(0,3)
∴M点在x轴正半轴上
∵点P到x轴的距离为2,即点P的纵坐标为2。
把y=2代入
得,
∴P点坐标为(
,2)
∵直线与抛物线交于点P
∴点P在
上,
∴a=1
∴直线l的函数关系式为
(2)如图2,若点P在y轴的右边,记为P
1
,过点P
1
作P
1
A⊥x轴于A,
,
,
,即
∵ON=3,
,即点P
1
的纵坐标为
把
代入
,得
∴点P
1
的坐标为(
)
又∵点P
1
是直线l与抛物线的交点。∴点P
1
在抛物线
上,
∴抛物线的函数关系式为
如图2,若点P在y轴的左边,记为P
2
。作P
2
B⊥x轴于B
。
,
,
,即
∵ON=3,
,即点P
2
的纵坐标为
由P
2
在直线l上可求得
又∵P
2
在抛物线上,
∴抛物线的函数关系式为
解析
(1)由于抛物线的顶点为C(0,1),因此抛物线的解析式中b=0,c=1.即抛物线的解析式为y=ax
2
+1.已知了P到x轴的距离为2,即P点的纵坐标为2.可根据直线l的解析式求出P点的坐标,然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值,也就能求出直线l的函数关系式.
(2)本题要根据相似三角形来求.已知了线段MP与PN的长度之比为3:1,如果过P作x轴的垂线,根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值.进而可仿照(1)的方法,先代入直线的解析式,然后再代入抛物线中即可求出a的值,也就求出了抛物线的解析式
举一反三
如图,直线
交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线
的顶点为A,且经过点B.
⑴求该抛物线的解析式;
⑵若点C(m,
)在抛物线上,求m的值.
题型:不详
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如图14,矩形ABCD中,AB = 6cm,AD = 3cm,点E在边DC上,且DE = 4cm.动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动,动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动,当点Q移动到点E时,点P停止移动.若点P、Q同时从点A同时出发,设点Q移动时间为t (s),P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S (cm2),求S与t的函数关系式.
题型:不详
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如图,抛物线F:
的顶点为P,抛物线:与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′:
,抛物线F′与x轴的另一个交点为C.
⑴当a = 1,b=-2,c = 3时,求点C的坐标(直接写出答案);
⑵若a、b、c满足了
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
题型:不详
难度:
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如图,一次函数
的图象与x轴和y轴分别交于点A(6,0)和B(0,
),线段AB的垂直平分线交x轴于点C,交AB于点D.
(1)试确定这个一次函数关系式;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.
题型:不详
难度:
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如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S
△PEF
关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S
△PEF
取得最大值?最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
题型:不详
难度:
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