已知抛物线与x轴交于两点、,与y轴交于点C,AB=6.(1)求抛物线和直线BC的解析式.(2)在给定的直角坐标系中,画出抛物线和直线BC.(3)若⊙P过A、B、

已知抛物线与x轴交于两点、,与y轴交于点C,AB=6.(1)求抛物线和直线BC的解析式.(2)在给定的直角坐标系中,画出抛物线和直线BC.(3)若⊙P过A、B、

题型:不详难度:来源:
已知抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点C,AB=6.
(1)求抛物线和直线BC的解析式.
(2)在给定的直角坐标系中,画出抛物线和直线BC.
(3)若⊙P过A、B、C三点,求⊙P的半径.
(4)抛物线上是否存在点M,过点M作轴于点N,使被直线BC分成面积比为的两部
分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由题意得: 
 解得 
经检验m=1,∴抛物线的解析式为:
(或:由得,
m.>0, 抛物线的解析式为 
 ∴A(-5,0),B(1,0),C(0,-5).
设直线BC的解析式为 则
∴直线BC的解析式为           
(2)图象.                                  

(3)解法一:在中,OA=OC=5,∴∠OAC=45 
 
∴⊙P的半径       
解法二:
由题意,圆心P在AB的中垂线上,即在抛物线的对称轴直线上,
设P(-2,-h)(h>0),
连结PB、PC,则
,即,解得h=2.
的半径
解法三:
延长CP交于点F.
CF为⊙P的直径,



 ∴⊙P的半径为
(4)设MN交直线BC于点E,点M的坐标为,则点E的坐标为
,则

解得(不合题意舍去),
,则

解得(不合题意舍去),
存在点M,点M的坐标为或(15,280).
解析
(1)法一:用韦达定理表示,求m
法二:直接用因式分解解出方程的两根,两根就是点A,点B的横坐标,根据,求出m,通过m的值可以求出点B和点C的坐标,就可以求出直线BC的解析式
(2)根据解析式易画出抛物线和直线
(3)法一:利用,求半径
法二:圆和抛物线的对称性,求出点P的坐标即可
法三:利用三角形相似求出圆的直径
(4)设MN交直线BC于点E,由于,知道抛物线和直线BC的解析式,可求出点M坐标,但需要分情况讨论
举一反三
如图,二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.
(1)若A(﹣4,0),求二次函数的关系式;
(2)在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积;
(3)是否存在抛物线y=x2﹣x+c,使得四边形AMBM′为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0),点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是【   】

(A)    (B)    (C)    (D) 
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使SPOA=2SAOB
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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抛物线经过点(2,4),则代数式的值为【   】
A.3B.9 C.D.

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如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是【   】
A.y的最大值小于0     B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1 D.当x=-3时,y的值小于0

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