抛物线的顶点在直线上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)(3分)先通过配方求抛物线

抛物线的顶点在直线上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)(3分)先通过配方求抛物线

题型:不详难度:来源:
抛物线的顶点在直线上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=,求点M的坐标.
答案
(1)(2)N(a, ),证明见解析(3)M(-3 ,
解析
解:(1)∵,∴顶点坐标为(-2 , )。
∵顶点在直线上,@]∴-2+3=,解得
(2)∵点N在抛物线上,且点N的横坐标为a,
∴点N的纵坐标为,即点N(a, )。
过点F作FC⊥NB于点C,
在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=,
 


∴NF2=NB2,NF=NB。
(3)连接AF、BF,
由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,
由(2)的结论知,MF=MA,
∴∠MAF=∠MFA。
∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,
∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°。
∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°。
又∵∠FAB+∠MAF=90°,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。
又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF。
,∴PF2= PA×PB=
过点F作FG⊥x轴于点G。
在Rt△PFG中,,∴PO=PG+GO=
∴P(- , 0) 。
设直线PF:,把点F(-2 , 2)、点P(- , 0)代入
,解得
∴直线PF:
解方程,得x=-3或x=2(不合题意,舍去)。
当x=-3时,,∴M(-3 , )。
(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可。
(2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,从而得出NF2=NB2,即可得出答案。
(3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值,从而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解。
举一反三
某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表:
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2

行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8

(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式;
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较的大小,并解释比较结果的实际意义.
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如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于【   】

A.        B.       C.3         D.4
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如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是(   )
A.1B.2C.3D.4

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抛物线的顶点坐标是 (   )
A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(1,1)D.(1,-1)

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已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
(1)求C1的顶点坐标;
(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(﹣3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;
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