如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。(1)(2分)求c的值；   ．

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。

(1)(2分)求c的值；   ．
(2)(6分)若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点
F。当BF＝1时，求抛物线的解析式．

答案

(1)3(2) (3) 或

解析

解：(1)∵抛物线过点A(0，3)，∴c＝3。
(2) ∵a＝－l，∴
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方。

∴　当x＝6时，y≤0。
∴，即。
又∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0。∴0＜。
由抛物线的对称性可知： 。
又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝×b×3＝。
∵＞0，∴S随b的增大而增大。
∴当b＝时，S的最大值＝。
如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线

x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即0≤＜3。
当x＝6，则，
∴0≤6b—33＜3，∴≤b＜6。
∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b。
∴S＝AD·BE＝·b·(36—6b)＝－3b²+18b。
∵对称轴b＝3＜，∴随b的增大而减小。
∴当b＝时，S的最大值＝。
综上所述：S的最大值为。
(3)当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
①当点M、N分别在AB、OC边上时．
如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．

∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。
∵OF垂直平分MN．
∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。
∵FB＝1，FC＝3－1＝2。
∴tan∠1＝，tan∠2＝＝tan∠1＝。
∴GN＝GM＝1。
设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。
在Rt△AOM中，，
∴，解得n＝5。∴　M(4，3)，N(5，0)。
把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得
，解得。
∴抛物线的解析式为。
②当点M、N分别在AB、BC边上时．如图④，连接MF．

∵OF垂直平分MN，
∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。
又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。
∴∠1＝∠2。
∵BF＝1， ∴FC＝2。
∴tan∠1＝tan∠2＝。
在Rt△MBN，tan∠1＝，∴BN＝3MB。
设N(6，n)．则FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝。
在Rt△MBF中，∵，∴。
解得： (不合题意舍去)，∴。
∴AM＝6－＝，∴　M(，3)，N(6，) 。
把M(，3)，N(6，)分别代人，得
，解得　。
∴抛物线的解析式为。
综上所述，抛物线的解析式为或。
（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。
（2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。
（3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。