已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在
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已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2) (1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP: ②OP=ON,且OP⊥ON (2) 设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。
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答案
(1)证明:如图1, ①∵四边形ABCD是正方形, ∴OC=OB,DC=BC,∠DCB=∠CBA=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∠DOC=90°,DC∥AB。 ∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°。 ∴∠BCN+∠CPD=90°,∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。 ∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。 ∵在△DCP和△CBN中,∠DCP=∠CBN,∠CPD=∠BNC,DC=BC, ∴△DCP≌△CBN(AAS)。∴CP=BN。 ②∵在△OBN和△OCP中,OB=OC,∠OCP=∠OBN, CP="BN" , ∴△OBN≌△OCP(SAS)。∴ON=OP,∠BON=∠COP。 ∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°。 ∴ON⊥OP。 (2)解:∵AB=4,四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2。 图1中,, 图2中,。 ∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: 。 |
解析
正方形的性质,三角形外角性质,全等三角形的判定和性质,两线垂直的判定,多边形的面积的分解,函数解析式的确定,分段函数,点到直线的距离。 【分析】(1)对于图1,证明线段相等,一般情况下找全等。根据BN,CP的分布情况 可以观察△CNB和△DPC,然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN和△DBP,证明AN=BP,从而有BN=CP。 对于图2,证明如下: ①∵ABCD为正方形,AC,BD为对角线,∴∠DCP=90º。 ∵CM⊥DP, ∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。 又∵∠DPB=∠ANC,BD=AC,∴△PDB≌△NCA(ASA)。 ∴PB=AN,DP=CN。∴CP=BN。 ②∵∠PDB=∠CAN,OD=OC, CP=BN,∴△PDO≌△NCO(SAS)。 ∴OP=ON,∠DOP=∠CON。 ∵∠DOC=90º,∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90º。∴OP⊥ON。 (2)求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积,则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1中,S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,,;图2中,S四边形OBNP=S△POB+S△PBN,代入求出即可。 |
举一反三
在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度,再 向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】A.(-2,3) | B.(-1,4) | C.(1,4) | D.(4,3) |
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如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,且A点坐标为 (-3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(-2,-3). (1)求抛物线的解析式和直线BD解析式; (2)过x轴上点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由. |
如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线、.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON为直径的圆与直线相切; (3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长. |
(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数的解析式; ①y随x变化的部分数值规律如下表: ②有序数对、、满足; ③已知函数的图象的一部分(如图). (2)直接写出二次函数的三个性质. |
如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是( )
A.k="n" | B.h="m" | C.k<n | D.h<0,k<0 |
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