如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作

如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作

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如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线

(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
答案
(1)(2)证明见解析(3) 4(1+k2),证明见解析
解析
解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
 解得
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
,∴x22=4(y2+1)。
又∵,∴
又∵y2≥-l,∴ON=2+y2
设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则
∴ON=2EF,
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,
∴以ON为直径的圆与相切。
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则

又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,
,即x2-4kx-4=0,∴x2+x1=4k,x2·x1=-4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q,过点M作MS⊥于点S,
则MS+NQ=y1+2+y2+2=

∴MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
(2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。
(3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。
举一反三
(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数的解析式;
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
 
②有序数对满足
③已知函数的图象的一部分(如图).
 
(2)直接写出二次函数的三个性质.
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如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是(  )
A.k="n"B.h="m"C.k<nD.h<0,k<0

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已知二次函数y=ax2+bx+1,一次函数y=k(x-1)-k2 4 ,若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点,则a,b的值分别为(  )
A.a=1,b=2B.a=1,b=-2C.a=-1,b=2D.a=-1,b=-2

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二次函数≠0)的图像如图所示,其对称轴为=1,有如下结论:① <1     ②2+=0     ③<4      ④若方程的两个根为,则+=2.则结论正确的是【  】
A. ①②B.①③C.②④D.③④

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二次函数的图像与轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有       个(提示:必要时可利用下面的备用图画出图像来分析).
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