解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 则 解得。 ∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上, ∴,∴x22=4(y2+1)。 又∵,∴。 又∵y2≥-l,∴ON=2+y2。 设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则 , ∴ON=2EF, 即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半, ∴以ON为直径的圆与相切。 (3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则,
又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。 又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上, ∴,即x2-4kx-4=0,∴x2+x1=4k,x2·x1=-4。 ∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。 延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S, 则MS+NQ=y1+2+y2+2=
∴MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。 (1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。 (2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。 (3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。 |