解:(1)∵AB⊥x轴,AB=3,tan∠AOB=,∴OB=4。 ∴B(﹣4,0),B1(0,﹣4),A2(3,0)。 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2, ∴,解得。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)点P是第三象限内抛物线上的一点, 如图,过点P作PC⊥x轴于点C.
设点P的坐标为(m,n), 则m<0,n<0,。 ∴PC=|n|=﹣,OC=|m|=﹣m, BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m。 ∴
∴当m=﹣2时,△PBB1的面积最大,这时,n=,即点P(﹣2,)。 (3)存在。 假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x0,y0),使点Q到线段BB1的距离为。 如图,过点Q作QD⊥BB1于点D,设Q(xQ,yQ),
由(2)可知,此时△QBB1的面积可以表示为: , 在Rt△OBB1中,。 ∵, ∴,解得xQ=﹣1或xQ=﹣3。 当xQ=﹣1时,yQ=﹣4;当xQ=﹣3时,yQ=﹣2。 因此,在第三象限内,抛物线上存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为,这样的点Q的坐标是(﹣1,﹣4)或(﹣3,﹣2)。 (1)根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标,利用待定系数法求得抛物线的解析式。 (2)求出△PBB1的面积表达式,这是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值。 (3)引用(2)问中三角形面积表达式的结论,利用此表达式表示出△QBB1的面积,然后解一元二次方程求得Q点的坐标。 |