如图,抛物线与x轴交于C.A两点,与y轴交于点B,OB=4.点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.(1)分别求出点A.点B的坐标;(2)求直线AB的
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如图,抛物线与x轴交于C.A两点,与y轴交于点B,OB=4.点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.(1)分别求出点A.点B的坐标;(2)求直线AB的
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线
与x轴交于C.A两点,与y轴交于点B,OB=4.点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.
(1)分别求出点A.点B的坐标;
(2)求直线AB的解析式;
(3)若反比例函数
的图象过点D,求k值;
(4)两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB.AO方向向B.O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动
个单位,设△POQ的面积为S,移动时间为t,问:S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)令y=0,即
,解得
。
∴C(
,0)、A(
,0)。
令x=0,得y=2。∴B(0,2)。
∴A(
,0)、B(0,2)。
(2)∵令直线AB经过点B(0,2),∴设AB的解析式为y=k
1
x+2。
又∵点A(
,0)在直线上,∴0=k
1
+2,解得k
1
=
。
∴直线AB的解析式为y=
x+2。
(3)由A(
,0)、B(0,2)得:OA=
,OB=2,AB=4,∠BAO=30°,∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称,∴OD=OA=
。
∴D点的横坐标为OD·cos60
0
=
,纵坐标为OD·sin60
0
=3。
∴D(
,3)。
∵
过点D,∴
,即k=3
。
(4)存在。
∵AP=t,AQ=
t,P到x轴的距离:AP•sin30°=
t,OQ=OA﹣AQ=
﹣
t,
∴
。
依题意,
, 得0<t≤4。
∴当t=
时,S有最大值为
。
解析
二次函数综合题,动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,对称的性质,线段中垂线的性质,含30
0
角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,点到直线的距离,二次函数的最值。
【分析】(1)抛物线的解析式中,令x=0,能确定抛物线与y轴的交点坐标(即B点坐标);令y=0,能确定抛物线与x轴的交点坐标(即A、C的坐标)。
(2)由(1)的结果,利用待定系数法可求出直线AB的解析式。
(3)欲求出反比例函数的解析式,需要先得到D点的坐标.已知A、B的坐标,易判断出△OAB是含30
0
角的直角三角形,结合O、D关于直线AB对称,可得出OD的长,结合∠DOA的值,应用三角函数即可得到D点的坐标。
(4)首先用t列出AQ、AP的表达式,从而可得到点P到x轴的距离,以OQ为底、P到x轴的距离为高,可得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值。
举一反三
已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP: ②OP=ON,且OP⊥ON
(2) 设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。
题型:不详
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在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x
2
- 4x+3先向右平移3个单位长度,再
向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】
A.(-2,3)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(4,3)
题型:不详
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如图,二次函数y=x
2
+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,且A点坐标为
(-3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(-2,-3).
(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式;
(2)过x轴上点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线
、
.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线
相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线
的距离之和等于线段MN的长.
题型:不详
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(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数
的解析式;
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对
、
、
满足
;
③已知函数
的图象的一部分(如图).
(2)直接写出二次函数
的三个性质.
题型:不详
难度:
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