已知二次函数y＝－x2＋2x＋图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为3，连接BD．点E是线段AB上一动点

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已知二次函数y＝－x²＋2x＋图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为3，连接BD．点E是线段AB上一动点（不与点A重合），过E作EF⊥AB交射线AD于点F，以EF为一边在EF的右侧作正方形EFGH．设E点的坐标为（t，0）．

]（1）求射线AD的解析式；
（2）在线段AB上是否存在点E，使△OCG为等腰三角形？
若存在，求正方形EFGH的边长；若不存在，请说明理由；
（3）设正方形EFGH与△ABD重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．

答案

（1）y=x+1(x

-1)
(2) ① OC="OG"

②OC=OG

③OG=CG

(3) ①

②

③

④

解析

（1）根据二次函数解析式，当x=0时，求出C点坐标；当y=0时，求出B点坐标及点A坐标；将D点横坐标代入y＝－x²＋2x＋，即可求出点D纵坐标；根据点A、点D坐标，应用待定系数法即可求出射线AD解析式；
（2）假设存在点E，使△OCG为等腰三角形，根据勾股定理，若能求出E点坐标，则E存在，同时可求出正方形EFGH的边长；否则E不存在；
（3）由于重叠部分面积是不确定的，所以要根据其重叠程度，分情况讨论，得到不同的表达式．

举一反三

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．b²﹣4ac＜0

B．abc＜0

C．

D．a﹣b+c＜0

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如图所示，二次函数

（

）的图像与

轴分别交于

（

，

）、

（

，

）两点，且与

轴交于点

；
（1）求该拋物线的解析式，并判断

的形状；
（2）在

轴上方的拋物线上有一点

，且以

、

四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写
出

点的坐标；
（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以

、

四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求
（4）出

点的坐标；若不存在，说明理由．

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如图，在△ABC中，AB=2，AC="BC=" 5 ．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S_△ABD=

S_△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．

附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．
解：令y²=x（x≥0），则原方程变为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．
当x₁=1时，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．
当x²=3，即y²=3，∴y₃=" 3" ，y₄="-" 3 ．
所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃=" 3" ，y₄="-" 3 ．
再如

，可设

，用同样的方法也可求解．

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设二次函数

，当

时，总有

，当

时，总有

，那么c的取值范围是【】

A．

B．

C．

D．

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在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E.
⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交⑴中的抛
物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为

，那么结论OF=

DG能成立吗？请说明理由.
⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.

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已知二次函数y＝－x2＋2x＋ 图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为3，连接BD．点E是线段AB上一动点