如图,在直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(0,2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.(1)点C的坐标为( , );(2)若二次函数的
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如图,在直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(0,2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.(1)点C的坐标为( , );(2)若二次函数的
题型:不详
难度:
来源:
如图,在直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(0,2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1)点C的坐标为(
,
);
(2)若二次函数
的图象经过点C.
①求二次函数
的关系式;
②当-1≤x≤4时,直接写出函数值y对应的取值范围;
③在此二次函数的图象上是否存在点P(点C除外),使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) ∴点C的坐标为(-3,1) .
(2)①∵二次函数
的图象经过点C(-3,1),
∴
.解得
∴二次函数的关系式为
②当-1≤x≤4时,
≤y≤8;
③过点C作CD⊥x轴,垂足为D,
i) 当A为直角顶点时,延长CA至点
,使
,则△
是以AB为直角边的等腰直
角三角形,过点
作
⊥
轴,
∵
=
,∠
=∠
,∠
=∠
=90°,
∴△
≌△
,∴AE=AD=2,
=CD=1,
∴可求得
的坐标为(1,-1),经检验点
在二次函数的图象上;
ii) 当B点为直角顶点时,过点B作直线L⊥BA,在直线L上分别取
,得到以AB为直角边的等腰直角△
和等腰直角△
,作
⊥y轴,同理可证△
≌△
∴
BF=OA=1,可得点
的坐标为(2, 1),经检验
点在二次函数的图象上.同理可得点
的坐标为(-2, 3),经检验
点不在二次函数的图象上
综上:二次函数的图象上存在点
(1,-1),
(2,1)两点,使得△
和△
是以AB为直角边的等腰直角三角形.
解析
(1)根据旋转的性质得出C点坐标;
(2)①把C点代入求得二次函数的解析式;②利用二次函数的图象得出y的取值范围;③分二种情况进行讨论.
举一反三
如图,在平面直角坐标系
中,把抛物线
向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线
.所得抛物线与
轴交于
两点(点
在点
的左边),与
轴交于点
,顶点为
.
(1)写出
的值;
(2)判断
的形状,并说明理由;
(3)在线段
上是否存在点
,使
∽
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,一次函数
y
=-2
x
的图象与二次函数
y
=-
x
2
+3
x
图象的对称轴交于点
B
.
(1)写出点
B
的坐标
;
(2)已知点
P
是二次函数
y
=-
x
2
+3
x
图象在
y
轴右侧部分上的一个动点,将直线
y
=-2
x
沿
y
轴向上平移,分别交
x
轴、
y
轴于
C、D
两点. 若以
CD
为直角边的△
PCD
与△
OCD
相似,则点
P
的坐标为
.
题型:不详
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已知二次函数的图象经过
A
(2,0)、
C
(0,12) 两点,且对称轴为直线
x
="4." 设顶点为点
P
,与
x
轴的另一交点为点
B
.
(1)求二次函数的解析式及顶点
P
的坐标;
(2)如图1,在直线
y=
2
x
上是否存在点
D
,使四边形
OPBD
为等腰梯形?若存在,求出点
D
的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点
M
是线段
OP
上的一个动点(
O
、
P
两点除外),以每秒
个单位长度的速度由点
P
向点
O
运动,过点
M
作直线
MN
∥
x
轴,交
PB
于点
N.
将△
PMN
沿直线
MN
对折,得到△
P
1
MN.
在动点
M
的运动过程中,设△
P
1
MN
与梯形
OMNB
的重叠部分的面积为
S
,运动时间为
t
秒. 求
S
关于
t
的函数关系式.
题型:不详
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二次函数
的图象的顶点坐标是( )
A.(
,
)
B.(
,
)
C.(
,
)
D.(
,
)
题型:不详
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已知函数
,则当
时,自变量
的取值范围是( )
A.
或
B.
C.
或
D.
题型:不详
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