在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。(1) 求点B的坐标;(2) 点
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。(1) 求点B的坐标;(2) 点
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系
xOy
中,抛物线
y
= -
x
2
+
x
+
m
2
-3
m
+2 与
x
轴的交点分别为原点
O
和点
A
,点
B
(2,
n
)在这条抛物线上。
(1) 求点
B
的坐标;
(2) 点
P
在线段
OA
上,从
O
点出发向A点运动,过
P
点作
x
轴的垂线,与直线
OB
交于点
E
。延长
PE
到点
D
。使得
ED
=
PE
。 以
PD
为斜边在
PD
右侧作等腰直角三角形
PCD
(当
P
点运动时,
C
点、
D
点也随之运动)
j当等腰直角三角形
PCD
的顶点
C
落在此抛物线上时,求
OP
的长;
k若
P
点从
O
点出发向
A
点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段
OA
上另一点
Q
从
A
点出发向
O
点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当
Q
点到达
O
点时停止运动,
P
点也同时停止运动)。过
Q
点作
x
轴的垂线,与直线
AB
交于点
F
。延长
QF
到点
M
,使得
FM
=
QF
,以
QM
为斜边,在
QM
的左侧作等腰直角三角形
QMN
(当
Q
点运动时,
M
点,
N
点也随之运动)。若
P
点运动到
t
秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻
t
的值。
答案
(1) (2,4) (2)j
k
,2,
解析
解:(1) ∵拋物线
y
= -
x
2
+
x
+
m
2
-3
m
+2经过原点,∴
m
2
-3
m
+2=0,解得
m
1
=1,
m
2
=2,
由题意知
m
¹1,∴
m
=2,∴拋物线的解析式为
y
= -
x
2
+
x
,
∵点
B
(2,
n
)在拋物线
y
= -
x
2
+
x
上,∴
n
=4,∴
B
点的坐标为(2,4)。
(2) j设直线
OB
的解析式为
y
=
k
1
x
,求得直线
OB
的解析式为
y
=2
x
,∵
A
点是拋物线与
x
轴的一个交点,可求得
A
点的 坐标为(10,0),设
P
点的坐标为(
a
,0),则
E
点的坐标为(
a
,2
a
),根据题意作等腰直角三角形
PCD
,如图1。
可求得点
C
的坐标为(3
a
,2
a
),由
C
点在拋物线上,得
2
a
= -
´(3
a
)
2
+
´3
a
,即
a
2
-
a
=0,解得
a
1
=
,
a
2
=0(舍去),∴
OP
=
。
k依题意作等腰直角三角形
QMN
,设直线
AB
的解析式为
y
=
k
2
x
+
b
,由点
A
(10,0),
点
B
(2,4),求得直线
AB
的解析式为
y
= -
x
+5,当
P
点运动到
t
秒时,两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:
第一种情况:
CD
与
NQ
在同一条直线上。如图2所示。
可证△
DPQ
为等腰直角三
角形。此时
OP
、
DP
、
AQ
的长可依次表示为
t
、4
t
、2
t
个单位。∴
PQ
=
DP
=4
t
,
∴
t
+4
t
+2
t
=10,∴
t
=
。
第二种情况:
PC
与
MN
在同一条直线上。如图3所示。
可证△
PQM
为等腰直角三
角形。此时
OP
、
AQ
的长可依次表示为
t
、2
t
个单位。∴
OQ
=10-2
t
,∵
F
点在
直线
AB
上,∴
FQ
=
t
,∴
MQ
=2
t
,∴
PQ
=
MQ
=
CQ
=2
t
,∴
t
+2
t
+2
t
=10,∴
t
=2。
第三种情况:点
P
、
Q
重合时,
PD
、
QM
在同一条直线上,如图4所示。
此时
OP
、
AQ
的长可依次表示为
t
、2
t
个单位。∴
t
+2
t
=10,∴
t
=
。综上,符合题意的
t
值分别为
,2,
。
(1)通过原点求得拋物线的解析式,把点
B
(2,
n
)代入拋物线即可求得点
B
的坐标
(2) j求得直线
OB
的解析式,,设
P
点的坐标为(
a
,0),根据题意作等腰直角三角形, 可求得点
C
的坐标为(3
a
,2
a
), 由
C
点在拋物线上,即可求得
a
的值
k依题意作等腰直角三角形
QMN
,直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有三种情况,分别求得
t
的值,取符合题意的值
举一反三
设函数
(
都为正整数且
),若当
与
时,都有
. 则
的最小值为 ( )
A.7
B.4
C.6
D.10
题型:不详
难度:
|
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如图, 已知直线
分别与
轴,
轴交于
两点, 点
在
轴上. 以点
为圆心的⊙
与直线
相切于点
, 连接
.
(1) 求证:
∽
;
(2)如果⊙
的半径为
, 求出点
的坐标, 并写出以
为顶点, 且过点
的抛物线的解析式;
(3) 在(2)的条件下, 在此抛物线上是否存在点
, 使得以
三点为顶点的三角形与
相似? 如果存在, 请求出所有符合条件的点
的坐标; 如果不存在, 请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图①,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在
轴的正半轴上,点C在
轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标;
(2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒
,过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式;当取何值时,S有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点M的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知关于
的一元二次方程
的两个实数根分别为
,
(
),则二次函数
中,当
时,
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
或
题型:不详
难度:
|
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如图,以OA
1
=2为底边做等腰三角形,使得第三个顶点C
1
恰好在直线y=x+2上,并以此向左、右依次类推,作一系列底边为2,第三个顶点在直线y=x+2上的等腰三角形.
(1)请你通过计算说明:底边为2,顶点在直线y=x+2上且面积为21的等腰三角形位于图
中什么位置?
(2)求证:y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半(如:S
右1
=
,S
右2
=
).
(3)过D
1
、A
1
、C
2
三点画抛物线.问在抛物线上是否存在点P,使得△PD
1
C
2
的面积是△C
1
OD
1
与△C
1
A
1
C
2
面积和的
.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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