已知抛物线y=ax2+bx+c ,当x=0时,有最小值为1 ;且在直线y=2上截得的线段长为4 .(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线的任意一点,记点
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已知抛物线y=ax2+bx+c ,当x=0时,有最小值为1 ;且在直线y=2上截得的线段长为4 .(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线的任意一点,记点
题型:不详
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来源:
已知抛物线y=ax
2
+bx+c ,当x=0时,有最小值为1 ;且在直线y=2上截得的线段长为4 .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线的任意一点,记点P到X轴的距离为d
1
,点P 与点 F (0,2)的距离为d
2
,猜想d
1
、 d
2
的大小关系,并证明;
(3)若直线PF交此抛物线于另一点Q(异于P点)。 试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系,并说明理由。
答案
(1)求此抛物线的解析式: y=
(2)猜想:d
1
=" d"
2
.
设d的坐标为(x, 0.25x
2
+1)
d
1
=
= |0.25x
2
+1 |
∴d
1
=
(3) 以PQ为直径的圆与x 轴相切
设Q到x轴的距离为m,到F的距离为n,
根据(2)的结论,有m=n,
过PQ的中点作x的垂线,设其长度为h,
易得h=
(m+d
1
),
同时有PQ=(n+d
2
)=(m+d
1
),
为h的2倍,
故以PQ为直径的圆与x轴相切.
解析
(1)由x=0时,有最小值为1得(0,1)点经过抛物线,由在直线y=2上截得的线段长为4得出(2,2)、(-2,2)点经过抛物线,把这三点代入求出抛物线的解析式;
(2)由勾股定理即可d
1
=
;
(3)由(2)的结论,找PQ的中点到x轴的距离与PQ的大小关系,容易证得两者相等;故以PQ为直径的圆与x轴相切.
举一反三
二次函数的解析式为
,则它图象的顶点坐标是( )
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2, 1)
D.(1,2 )
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函数
y
=
x
2
-4
x
+3化成
y
=(
x
+
m
)
2
+
k
的形式是 ( )
A.
y
=(
x
-2)
2
-1
B.
y
=(
x
+2)
2
-1
C.
y
=(
x
-2)
2
+7
D.
y
=(
x
+2)
2
+7
题型:不详
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将抛物线
先向上平移3个单位,再向左平移2个单位所得的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
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二次函数
的图象如图所示,则下列结论:
①
,②
,③
,④
,⑤
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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二次函数y=(
x
-1)
2
-2的图像的对称轴是直线___________.
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