在平面直角坐标系中，形如的点涂上红色（其中为整数），称为红点，其余不涂色，那么抛物线上一共有红点A．2个　　　　　B．4个C．6个　　D．无数个

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在平面直角坐标系中，形如

的点涂上红色（其中

为整数），称为红点，其余不涂色，那么抛物线

上一共有红点

A．2个

B．4个

C．6个　　

D．无数个

答案

解析

设点（m，n²）是抛物线y=x²-2x+9上的一个标准点，则n²=m²-2m+9，
∵m、n为整数，又∵m²-2m+9是一个完全平方数，∴n²=（m-3）²，∴n=m-3，或n=-m+3，
可见，当m为整数时，n也为整数，∴抛物线上的红点有无数个．故选D

举一反三

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线

与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线

经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M的坐标和符合条件的点P的坐标．
（4）当（3）中符合条件的△POM面积最大时，过点O的直线

将其面积分为

∶

两部分，请直接写出直线

的解析式

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在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x,CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.