矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线与BC边相交于D点．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线经过点

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矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M的坐标和符合条件的点P的坐标．
（4）当（3）中符合条件的△POM面积最大时，过点O的直线将其面积分为∶两部分，请直接写出直线的解析式

答案

（1）∵D是直线与BC的交点，
可得D的坐标为（4，―3）．                       …………………2分
（2）点A代入，解得抛物线的
表达式为．                           …………………2分
对称轴是直线                              …………………1分
（3）点M的横坐标为3，代入直线求得M（3，－     …………………1分
对称轴与x轴交点P₁符合，P₁              …………………1分
过M作y轴的垂线交y轴于点Ｐ₂，则Ｐ₂符合条件，
解得P₂（0，－）                             …………………1分
过Ｍ作ＯＭ的垂线分别交ｘ轴ｙ轴于点P₃、P₄，
则P₃（、P₄（0，                    …………………2分
（4）或                           …………………2分

解析

(1)根据点D是直线与BC的交点，从而求出点D的坐标；
（2）把A点坐标代入抛物线方程中得出此抛物线的解析式，利用抛物线性质得出它的对称轴；
（3）先求出M点坐标，然后根据相似三角形比例关系求出P点坐标；
（4）利用面积比等于等高的三角形的底边之比从而求出直线的解析式。