已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

答案

（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x₁、x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

．
当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上为增函数．