已知函数f(x)=x+mx,且f(1)=2.(1)求m;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.

已知函数f(x)=x+mx,且f(1)=2.(1)求m;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x+
m
x
,且f(1)=2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
答案
(1)∵f(1)=2,∴1+m=2,m=1.
(2)f(x)=x+
1
x
,f(-x)=-x-
1
x
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)=
1
x
+x在(1,+∞)上为增函数,证明如下
设x1、x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x1+
1
x1
-(x2+
1
x2
)=x1-x2+(
1
x1
-
1
x2

=x1-x2-
x1-x2
x1x2
=(x1-x2
x1x2-1
x1x2

当1<x1<x2时,x1x2>1,x1x2-1>0,从而f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=
1
x
+x在(1,+∞)上为增函数.
举一反三
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2D.-2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若方程(
1
4
)x+(
1
2
)x-1+a=0
有正数解,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





x+2    x≥2
-x+3    x<2
则f[f(2)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=





x2-1
,&x
≤0
f(x-2),x>0
,则f[f(1)]的值为(  )
A.-1B.0C.1D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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