定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在
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定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:
f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.
答案
(1)设x∈(-1,0)则-x∈(0,1)
∵∀x∈R,f(-x)=-f(x),且x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
4
x
+1
,
∴x∈(-1,0)时,有
f(x)=-f(-x)=-
2
-x
4
-x
+1
=-
2
x
4
x
+1
..(3分)
在f(-x)=-f(x)中,令x=0,f(-0)=-f(0)⇒f(0)=0.(5分)
综上:当x∈(-1,1)时,有:
f(x)=
2
x
4
x
+1
,x∈(0,1)
-
2
x
4
x
+1
,x∈(-1,0)
0,x∈{0}
(7分)
(2)f(x)在(0,1)上是减函数(8分)
证明:设0<x
1
<x
2
<1则x
2
-x
1
>0,0<x
1
+x
2
<2,∴
2
x
1
+
x
2
>1,
2
x
2
>
2
x
1
.(10分)
∴
f(
x
2
)-f(
x
1
)=
2
x
2
4
x
2
+1
-
2
x
1
4
x
1
+1
=
(
2
x
1
-
2
x
2
)(
2
x
1
+
x
2
-1)
(
4
x
1
+1)(
4
x
2
+1)
<0
(13分)
∴f(x
2
)<f(x
1
)
∴f(x)在(0,1)上是减函数(14分)
举一反三
已知函数f(x)=
x+2 x≥2
-x+3 x<2
则f[f(2)]=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)=
x
2
-1
,&x
≤0
f(x-2),x>0
,则f[f(1)]的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
a
1-mx
x-1
是奇函数.(a>0,且a≠1)
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.
(3)当a>1,x∈(r,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求a与r的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数在(-∞,0)上是增函数的是( )
A.f(x)=1-
1
x
B.f(x)=x
2
-1
C.f(x)=1-x
D.f(x)=|x|
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=
x
1
2
(x∈(0,+∞))
B.y=3
x
(x∈R)
C.y=
x
1
3
(x∈R)
D.y=lg|x|(x≠0)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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