如图(1),分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为轴、 轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三
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如图(1),分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为轴、 轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三
题型:不详
难度:
来源:
如图(1),分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为
轴、
轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在
轴上)交y轴于另一点Q,抛物线
经过A、C两点,与
轴的另一交点为G,M是FG的中点,B点坐标为(2,2).
小题1:求抛物线的函数解析式和点E的坐标;
小题2:求证:ME是⊙P的切线;
答案
小题1:解:如图甲,连接PE、PB,设PC=n,
∵正方形CDEF的面积为1,
∴CD=CF=1,
根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,
∴BC=2PC=2n,
∵而PB=PE,
∴PB
2
=BC
2
+PC
2
=4n
2
+n
2
=5n
2
,PE
2
=PF
2
+EF
2
=(n+1)
2
+1,
∴5n
2
=(n+1)
2
+1,
解得:n=1或n=-
(舍去),
∴BC=OC=2,
∴B点坐标为(2,2);(6分)
小题2:证明:如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),
∵A,C在抛物线上,
∴
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为:y=
x
2
-
x+2=
(x-3)
2
-
,
∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线,
∵C与G关于直线x=3对称,
∴CF=FG=1,
∴MF=
FG=
,
在Rt△PEF与Rt△EMF中,
∠EFM=∠EFP,
∵
,
,
∴
,
∴△PEF∽△EMF,
∴∠EPF=∠FEM,
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,
∴ME是⊙P的切线;(12分)
解析
(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;
(2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;
举一反三
如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线y=ax
2
+2x与直线y=x交于点O、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作PE∥y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.
小题1:求OA所在直线的解析式
小题2:求a的值
小题3:当m≠3时,求S与m的函数关系式.
小题4:如图②,设直线PE交射线OC于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的右侧作矩形RQMN,其中RN=.直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图23,已知抛物线
与
轴相交于A、B两点,其对称轴为直线
,且与x轴交于点D,AO=1.
小题1:填空:
=_______。
=_______,点B的坐标为(_______,_______):
小题2:若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交
轴于点F.求FC的长;
小题3:探究:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与
轴、直线BC都相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数
(m为常数).
小题1:求证:不论m为何值,该二次函数图象的顶点P都在函数
的图象上;
小题2:若顶点P的横、纵坐标相等,求P点坐标
题型:不详
难度:
|
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若二次函数
.当
≤ 3时,
随
的增大而减小,则
的取值范围是 ( )
A.
= 3
B.
>3
C.
≥ 3
D.
≤ 3
题型:不详
难度:
|
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记抛物线
的图象与
正半轴的交点为A,将线段OA分成2012等份,设分点分别为P
1
, P
2
,…,P
2011
,过每个分点作
轴的垂线,分别与抛物线交于点Q
1
,Q
2
,…,Q
2011
,再记直角三角形OP
1
Q
1
,P
1
P
2
Q
2
,…的面积分别为S
1
,S
2
,…,这样就记W=S
1
2
+S
2
2
+S
3
2
+·····+S
2011
2
,W的值为
题型:不详
难度:
|
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