如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在

如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在

题型:不详难度:来源:
如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.

小题1:求抛物线对应的函数关系式;
小题2:若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由
小题3:在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P,使得△PBD的周长最小.请求出点P的坐标.
小题4:在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时M点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案

小题1:∵抛物线经过B(0,4),∴,------1分

∵顶点在直线上,∴
∴所求函数关系式为: --------------------------------------2分
小题2:在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0).---------------------------------3分 
时,,-----------------------------------------4分
时,
∴点C和点D在所求抛物线上.--------------------------------------------------5分
小题3:设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点, --------------------------6分
设直线CD对应的函数关系式为
,解得:
,---------------------7分
时,,∴P(),-------------------8分
小题4:∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,
,---------------9分
设对称轴交x轴于点F,则

-------------10分

∴当时,S取得最大值为,-----------------11分
此时点M的坐标为(0,).
解析
此题考核二次函数的综合应用
(1)  通过B(0,4),顶点在直线上,求出函数关系式
(2)  通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标,代入函数关系式求证
(3)  通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标
通过△OMN∽△OBD,求得,再通过面积求得S与t的函数关系式,从而求得最大值和M点的坐标
举一反三
如图,已知抛物线y=x-ax+a-4a-4与x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点D(0,8),直线DC平行于x轴,交抛物线于另一点C,动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发,沿C→D运动,同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A→B运动,连接PQ、CB,设点P运动的时间为t秒.

(1)求a的值;(2)当四边形ODPQ为矩形时,求这个矩形的面积;(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.(4)当t为何值时,△PBQ是等腰三角形?(直接写出答案)
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抛物线的顶点坐标为(  )
A.(3,﹣4)B.(3,4)C.(﹣3,﹣4)D.(﹣3,4)

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是关于的一元二次方程的两个根,则方程的两个根和系数有如下关系:. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为:

请你参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数的图象与x轴的两个交点为,抛物线的顶点为,显然为等腰三角形.
(1)当为等腰直角三角形时,求
(2)当为等边三角形时,求
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如图,抛物线yax2ca>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底ADx轴上,其中A(-2,0),B(-1, -3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点My轴上任意一点,当点MAB两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使SPAD=4SABM成立,求点P的坐标.
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如图1,点C、B分别为抛物线C1:y1=x2+1,抛物线C2:y2=a2x2+b2x+c2的顶点.分别过点B、C作x轴的平行线,交抛物线C1、C2于点A、D,且AB=BD.
小题1:求点A的坐标:
小题2:如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变,求CD的长和a2的值;
小题3:如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”,其他条件不变,求b1+b2的值 2 (直接写结果).
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