已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC.小题1:求过A、F、C三点的抛物线解析式；小题2:设（1）中的抛物线与矩形OABC

题型：不详难度：来源：

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC.
小题1:求过A、F、C三点的抛物线解析式；
小题2:设（1）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与轴相交于另外一点E，若点M是轴上的点，N是轴上的点，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标
小题3:若动点P以每秒个单位长度的速度从C点出发沿CB 向终点B运动，同时动点Q从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AO运动，当P运动到B点时，P，Q同时停止运动.当点P运动时间t(秒)为何值时，以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？

答案

小题1:
小题2:M₁（，0），N₁（0，1）；M₂（，0），N₂（0，1）
小题3:t=或

解析

（1）∵OA=，OC=1,∴tan∠OAC=.
∴∠OAC=30°   ∠ACF=∠ACO=60°……………………1分
过P作PE⊥OA于E，交CB于G，则FG⊥CD.
∠GCF=30°,    GF=CF=OC=.
CF= .     ∴P（，）…………………………2分
设过 A、B、C三点抛物线解析式为.∴c=1
∴……………………………………3分
解之，得  ∴.………………4分
（2）由，得=,=.
∴E(,0)……………………………………5分
由，得="0," =.∴D(,1).………………6分
①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M₁（，0），此时N₁（0，1）…7分
当M在E点右侧时，OM₂=.∴M₂（，0），此时N₂（0，1）……8分
②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M₃（，0），N₃（0，-1）……9分
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有
CQ=OP或OC²=CQ·OP.
当P、Q在y轴同侧时：
由，得t=.………………………………10分
由，得 .
△=4-8=-4＜0，故无解.
当P、Q在y轴异侧时：
由，得t=3＞，不合题意，舍去………………………11分
由，得 .
＜0舍去，    ∴t=或……………………12分