(本题14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过、、三点.⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S
题型:不详难度:来源:
(本题14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过、、三点.
⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值; ⑶ 若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. |
答案
(1)抛物线的解析式为 y=x²/2+x-4 (2)作MN垂直x轴于N,则 S△AMB=S梯形OBMN+S△NMA-S△ABO =1/2|-4-(m²/2+m-4)||m|+1/2|m²/2+m-4||-4-m|-8 =-m²-4m (-4<m<0) 即S关于M的函数关系式为 S(m)=-m²-4m (-4<m<0) -m²-4m =-m(m+4)≤(-m+m+4)²/4=4,当m=-2时取等号,则 S(m)max=S(-2)=4 (3)要满足使点P,Q,B,O为顶点的四边形为平行四边形,可分为两种情况 第一种情况是OB为四边形的一边,要使其为平行四边形,则OB平行且等于PQ,即|x²/2+x-4+x|=4 x1=2√5-2,x2=-2√5-2,x3=-4 此时Q点坐标为(2√5-2,2-2√5)、(-2√5-2,2√5+2)或(-4,4) 第二种情况是OB为四边形的对角线,则OQ必为四边形的一边,要使其为平行四边形,则OQ平行且等于PB 过点B且平行于OQ的直线为 y=-x-4 与抛物线 y=x²/2+x-4 的另一交点为P(-4,0),|PB|=4√2 |OQ|=|PB|,则Q点为(4,-4) 综上所述,Q点坐标为(2√5-2,2-2√5)、(-2√5-2,2√5+2)、(-4,4)或(4,-4)时满足题意 |
解析
略 |
举一反三
(本题12分)如图,一抛物线的顶点A为(2,-1),交x轴于B、C(B左C右)两点,交y轴于点D,且B(1,0),坐标原点为O,
(1)求抛物线解析式. (2)连接CD、BD,在x轴上确定点E,使以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似,并求出点E的坐标. (3)若点M(m,1)是抛物线上对称轴右侧的一点,点Q也在抛物线上,点P在x轴上,是否存在以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
(2010•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b2﹣4ac>0; ②abc>0; ③8a+c>0; ④9a+3b+c<0 其中,正确结论的个数是( )
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(本题满分10分)如图,已知二次函数的图象的顶点为.二次函数的图象与轴交于原点及另一点,它的顶点在函数的图象的对称轴上.
(1)求点与点的坐标; (2)当四边形为菱形时,求函数的关系式. |
二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图像是( ) |
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