如图9，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（0，）.（1）求抛物线的对称轴及的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；（3）点

题型：不详难度：来源：

如图9，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（0，）.
（1）求抛物线的对称轴及的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.

答案

解：（1）抛物线的对称轴为：直线.…………(1分)
∵抛物线过点C（0，），则，
∴.…………(2分)
（2）如图9，

根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使的值最小，
又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线的交点.
由（1）可知，抛物线的表达式为：.
令，则，解得：，.
则点A、B的坐标分别是A（，0）、B（，0）.
设直线AC的表达式为，则
  解得：
所以直线AC的表达式为.…………(3分)
当时， ，
所以，此时点P的坐标为（，）. ………… (4分)
（3）①依题意得：
当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大.
由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为（，）.
∴点M的坐标为（，）. …………(5分)
△AMB的最大面积. …………(6分)
②方法一：
如图9，过点M作轴于点H，连结、、.
点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，），则


…………(7分)
.
当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)
当时，.
∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（，）. (9分)
方法二：
如图9，过点M作轴于点H，交直线AC于点N，连结、、.
点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，），则
点N的坐标为（，），则.
则
…………(7分)
.
当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)
当时，.
∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（，）. (9分)

解析

略