(2011•江汉区)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)直接填写
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(2011•江汉区)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)直接填写
题型:不详
难度:
来源:
(2011•江汉区)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax
2
+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0)、B(1,
0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:a=
,b=
,顶点C的坐标为
;
(2
)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.
答案
解:(1)a=﹣1,b=﹣2,顶点C的坐标为(﹣1,4);
(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,
∴△CED∽△DOA,∴
.
设D(0,c),则
.变形得c
2
﹣4c+3=0,解之得c
1
=3,c
2
=1.
综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),
只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M,∴AM=CM,∴AM
2
=CM
2
.
设M(m,0),则(m+3)
2
=4
2
+(m+1)
2
,∴m=2,即M(2,0).
设直线CM的解析式为y=k
1
x+b
1
,
则
,解之得
,
.
∴直线CM的解析式
.
联立
,解之得
或
(舍去).
∴
.
②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N.
由△CFA∽△CAH得
,
由△FNA∽△AHC得
.
∴AN=2,FN=1,点F坐标为(﹣5,1).
设直线CF的解析式为y=k
2
x+b
2
,则
,
解之得
.
∴直线CF的解析式
.
联立
,解之得
或
(舍去).
∴
.
∴满足条件的点P坐标为
或
.
解析
略
举一反三
(2011•南充)抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=﹣x+p相交于点A和点C(2m﹣4,m﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=ax
2
+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,
)和
(m-b,m
2
-mb+n),其中a,b,c
,m,n为实数,且a,m不为0.
(1)求c的值;
(2)设抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴的两个交点是(x
1
,0)和(x
2
,0),求x
1
x
2
的值;
(3)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax
2
+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x
o
,y
o
),求这时|y
o
|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线y=ax
2
-4ax+c(a≠0)经过A(0,-1),B(5,0)两点,点P是抛物线上的一个动点
,且位于直线AB的下方(不与A,B重合),过点P作直线PQ⊥x轴,交AB于点Q,设点P的横坐标为m.
(1)求a,c的值;(4分)
(2)设PQ的长为S,求S与m的函数关系式,写出m的取值范围;(4分)
(3)以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系?并写出对应的m取值范围.(不必写过程)(4分)
题型:不详
难度:
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(11·钦州)函数
y
=
ax
-2 (
a
≠0).与
y
=
ax
2
(
a
≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
题型:不详
难度:
|
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将抛物线
向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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