(1)抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点 ∴9a-3b+3=0 且a-b+3=0解得a=1b=4 ∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3 (2)由(1)配方得y=(x+2)2-1 ∴抛物线的顶点M(-2,,1)∴直线OD的解析式为y=x 于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h, h), ∴平移的抛物线解析式为y=(x-h)2+h. ①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),∴h2+h=9, 解得h=. ∴ 当 ≤h<时,平移的抛物线与射线CD只有一个公共点. ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时, 由方程组y=(x-h)2+h,y=-2x+9. 得 x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0,∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0, 解得h=4. 此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意. 综上:平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h<. (3)方法1将抛物线平移,当顶点至原点时,其解析式为y=x2, 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0). 假设存在满足题设条件的点P(0,t),如图,过P作GH∥x轴,分别过E,F作GH的垂线,垂足为G,H.∵△PEF的内心在y轴上,∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP,∴△GEP∽△HFP,...............9分∴GP/PH=GE/HF, ∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxE·xF=(t-3)(xE+xF) 由y=x2,y=-kx+3.得x2-kx-3=0. ∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k(-3)=(t-3)k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使△PEF的内心在y轴上. 方法2 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E,F的坐标分别为(m,m2)(n,n2)由方法1知:mn=-3.作点E关于y轴的对称点R(-m,m2),作直线FR交y轴于点P,由对称性知∠EPQ=∠FPQ,∴点P就是所求的点.由F,R的坐标,可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn.当x=0,y=mn=-3,∴P(0,-3).∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使△PEF的内心在y轴上. |