如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°.（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，点B在x轴的负半轴上，
∠ABO=30°.

（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：                   
（1）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵∠ABO=30°，A的坐标为（1，），
∴ BF="3" .
∵ OF="1" ,
∴ BO="2" .
∴ B(-2,0).
设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，
∴  …………………………………2分
（2）存在点C.
过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=" -" 1交x轴于点E.
当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小.
∵ △BCE∽△BAF,
∴ .
∴
∴C（，）…………………………………4分
（3）存在.
如图，连结AO，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则

，
∴直线AB为，
 =" " |OB||P|+|OB||D|=|P|+|D|
=.
∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.
∴==.  
∴x1=-  , x2=1(舍去).
∴p(-,-)  .
又∵S△BOD =x+,
∴ == .
∴x1=- ,    x2=-2.
P(-2,0)，不符合题意.
∴ 存在，点P坐标是（-，-）. ……………

解析

略