如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.⑴求的值;⑵如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线

如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.⑴求的值;⑵如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线

题型:不详难度:来源:

如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.

⑴求的值;
⑵如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使△AQP≌△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.
(图②供选用)
答案

(1)6
(2)
(3)存在
解析
⑴ ∵抛物线经过点D()

∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线,垂足分别为E、F,设AC与BD交点为M,
 ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分,即:S△ABC=S△ADC  ∴DE="BF "
又∵∠DME=∠BMF, ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM="BM   " 即AC平分BD
∵c="6. " ∵抛物线为
∴A()、B(
∵M是BD的中点  ∴M(
设AC的解析式为y=kx+b,经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在.设抛物线顶点为N(0,6),在Rt△AQN中,易得AN=,于是以A点为圆心,AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q,连接AQ,再作∠QAB平分线AP交抛物线于P,连接BP、PQ,此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP
举一反三
(本题满分9分)
如图,以为顶点的抛物线与轴交于点.已知两点坐标分别为(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设是抛物线上的一点(为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点是否总成立?请说明理由.
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已知点A(1,1)在二次函数y=x2-2ax+b的图象上.
(1)用含a的代数式表示b;
(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与 x轴平行,O为坐标原点.

(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.
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抛物线的顶点坐标是          
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已知:如图,抛物线轴交于点、点,与直线相交于点、点,直线轴交于点

(1)求直线的解析式;
(2)求的面积;
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从运动.设运动时间为秒,请写出的面积的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
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