已知抛物线y=x2+ax+a-2。（1）证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）a取何值时，两点间的距离最小？

题型：河北省同步题难度：来源：

已知抛物线y=x²+ax+a-2。
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）a取何值时，两点间的距离最小？

答案

解：（1）∵y=x²+ax+a-2，
∴△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=a²-4a+4+4=（a-2）²+4，
又∵（a-2）²+4>0，
∴△>0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设二次函数y=x²+ax+a-2与x轴的两交点的横坐标为x₁，x₂，
则方程x²+ax+a-2=0的两个根为x₁，x₂，得x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴=，
当a=2时，两点间的距离最小。