如图，抛物线（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，抛物线（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C。
（1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若直线BB"交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
（3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由。
[注：抛物线y=ax²+bx+c顶点坐标是]

答案

解：（1）令x=0，得到y=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0，
∵，
∴P（m，m²+n）,
根据题意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四边形ABCO是矩形,
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m,
∴A′点坐标为（m+n，m）;
（2）连接EA′，AB′，
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°，
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n，
∵AO=n，
∴EA=m，
∵A′B′=m，
∴A′B′=EA，
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′，
∴四边形AEA′B′是平行四边形，
∴对角线B′E与AA′互相平分；
（3）∵点A′（m+n，m）在抛物线上，
∴m=-，
整理得：m-n=（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0，
∴m+n=3，即n=3-m，
∵AB·BC=1，即mn=1，
把n=3-m代入m·n=1得，m（3-m）=1，
解得或（不合题意舍去）
∴抛物线解析式为，
∴A"（3，2），A（0，1），
结论：在抛物线的对称轴上存在点D，使△AA′D为等腰三角形．点D的坐标为：_D1（2，1+），D₂（2，1-），D₃（2，5），D₄（2，-1），D₅（2，0）。