如图，点P是双曲线（k1<0，x<0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（0＜k2＜|k1|）于 E、F两点

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，点P是双曲线（k₁<0，x<0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（0＜k₂＜|k₁|）于 E、F两点。
（1）图（1）中，四边形PEOF的面积S₁=_______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图（2）中，设P点坐标为（-4，3）。
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）k₂-k₁；（2）① EF∥AB，
证明：如图，由题意可得A（-4，0），B（0，3），，
∴PA=3，，PB=4，
∴，
∴
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；
②S₂没有最小值，理由如下：
如图，过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，EM、FN交于点O，
由上知，，
而S_△EFQ=S_△PEF
S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S <sub>矩形OMQN

=</sub>
，
当k₂>-6时，S₂的值随k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12，
∴0＜S₂＜24，S₂没有最小值。