如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1

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如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O

、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

答案

（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
过点M（4，0），则4a+4=0，
∴a=-1，y=-（x-2）²+4=4x-x²，即y=-x²+4x；

（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
∵l=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x²）]
=2（-x²+2x+4）
=-2（x-1）²+10，
∵当x=1时，l有最大值，即l_最大值=10；

（3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点，
以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外），
这四个点都符合题意．

举一反三

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=

x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=

x²改为抛物线y=

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

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如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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仔细阅读并完成下题：
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”；如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，已知“蛋圆”是由抛物线y=ax²-2ax+c的一部分和圆心为M的半圆合成的．点A、B、C分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点A的坐标为（-1，0），AB为半圆的直径，
（1）点B的坐标为（______，______）；点C的坐标为（______，______），半圆M的半径为______；
（2）若P是“蛋圆”上的一点，且以O、P、B为顶点的三角形是等腰直角三角形求符合条件的点P的坐标，以及所对应的a的值；
（3）已知直线y=x-

是“蛋圆”的切线，求满足条件的抛物线解析式．

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已知：如图，抛物线y=

x2-3x+c交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，过A、

B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求c的值；
（2）连接AC、BC，设∠ACB=α，求tanα；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明．

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如图，AB是自动喷灌设备的水管，点A在地面，点B高出地面1.5米．在B处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平线成45°角，水流的最高点C与喷头B高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D到点A的距离是______米．

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