已知:直线y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,点C为x轴上一点,AC=1,且OC<OA.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、B、C.(1)求该抛

已知:直线y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,点C为x轴上一点,AC=1,且OC<OA.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、B、C.(1)求该抛

题型:不详难度:来源:
已知:直线y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,点C为x轴上一点,AC=1,且OC<OA.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、B、C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点D的坐标为(-3,0),点P为线段AB上的一点,当锐角∠PDO的正切值是
1
2
时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,该抛物线上的一点E在x轴下方,当△ADE的面积等与四边形APCE的面积时,求点E的坐标.
答案
(1)令y=0,则-2x+4=0,
解得x=2,
令x=0,则y=4,
所以,点A(2,0),B(0,4),
∵AC=1,且OC<OA,
∴点C的坐标为(1,0),
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、B、C,





4a+2b+c=0
c=4
a+b+c=0

解得





a=2
b=-6
c=4

∴该抛物线的表达式为y=2x2-6x+4;

(2)∵D的坐标为(-3,0),
∴OD=3,
设PD与y轴的交点为F,
∵∠PDO的正切值是
1
2

∴OF=
1
2
•OD=
1
2
×3=
3
2

∴点F的坐标为(0,
3
2
),
设直线PD的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),





-3k+b=0
b=
3
2

解得





k=
1
2
b=
3
2

所以,直线PD的解析式为y=
1
2
x+
3
2

联立





y=
1
2
x+
3
2
y=-2x+4

解得





x=1
y=2

∴点P的坐标为(1,2);

(3)设点E到x轴的距离为h,
∵A(2,0),C(1,0),D(-3,0),
∴AC=1,AD=2-(-3)=5,
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积,
1
2
×5h=
1
2
×1h+
1
2
×1×2,
解得h=
1
2

∵点E在x轴的下方,
∴点E的纵坐标为-
1
2

∴2x2-6x+4=-
1
2

整理得,4x2-12x+9=0,
解得x=
3
2

∴点E的坐标为(
3
2
,-
1
2
).
举一反三
如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于C点.
(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小.请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标.
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在足球比赛中,当守门员远离球门时,进攻队员常常使用“吊射”的战术(把球高高地挑过守门员的头顶,射入球门).一位球员在离对方球门30米的M处起脚吊射,假如球飞行的路线是一条抛物线,在离球门14米时,足球达到最大高度
32
3
米.如图a:以球门底部为坐标原点建立坐标系,球门PQ的高度为2.44米.问:

(1)通过计算说明,球是否会进球门?
(2)如果守门员站在距离球门2米远处,而守门员跳起后最多能摸到2.75米高处,他能否在空中截住这次吊射?
(3)如图b:在另一次地面进攻中,假如守门员站在离球门中央2米远的A点处防守,进攻队员在离球门中央12米的B处以120千米/小时的球速起脚射门,射向球门的立柱C.球门的宽度CD为7.2米,而守门员防守的最远水平距离S和时间t之间的函数关系式为S=10t,问这次射门守门员能否挡住球?
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如图①,点A′,B′的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO,点A′的对应点是点A,点B′的对应点是点B.
(1)写出A,B两点的坐标,并求出直线AB的解析式;
(2)将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠,(点C在x轴上,点D在AB上,点D不与A,B重合)如图②,使点B落在x轴上,点B的对应点为点E.设点C的坐标为(x,0),△CDE与△ABO重叠部分的面积为S.
①试求出S与x之间的函数关系式(包括自变量x的取值范围);
②当x为何值时,S的面积最大,最大值是多少?
③是否存在这样的点C,使得△ADE为直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,
9
2
).

(1)求抛物线的函数关系式;
(2)如图①,设该抛物线的对称轴与x轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标;
(3)如图②,连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点E作EFAC交线段BC于点F,连结CE,记△CEF的面积为S,求出S的最大值及此时E点的坐标.
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将函数y=


3
3
x
的图象向上平移2个单位,得到一个新函数,平移前后的两个函数图象分别与y轴交于O、A两点,与直线x=-


3
分别交于C、B两点.
(1)求这个新函数的解析式;
(2)判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状,并说明理由;
(3)若(2)中的四边形(不包括边界)始终覆盖着二次函数y=x2-2bx+b2+
1
2
的图象的一部分,求满足条件的实数b的取值范围.
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