(1)点M与点O重合. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABO=30°,∠BAO=60°. 由OB=12, ∴AB=8,AO=4. ∵△PON是等边三角形, ∴∠PON=60度. ∴∠AOP=30度. ∴AO=2AP,即4=2t, 解得t=2. ∴当t=2时,点M与点O重合.
(2)如图①,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S, 可求得AQ=AP=,PS=QO=OA-AQ=4-. QP=AQcos30°=×t=t. ∴点P坐标为(t,4-). 在Rt△PMS中,sin60°=, ∴PM=(4-)÷=8-t.
(3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,见图②. 设PN交EF于点G, ∵PM过F点时,OD⊥ED,ED∥FO而D为OB的中点, ∴E是AB的中点, ∵EF∥OD, ∴F也是AO的中点, ∴△FMO≌△AFP, ∴∠FMO=∠PAF=60°, 则重叠部分为直角梯形FONG, 作GH⊥OB于点H. ∵∠GNH=60°,GH=2, ∴HN=2. ∵MP=8-t, ∴BM=2MP=16-2t. ∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t. ∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t. ∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t. ∴S=(2+t+4+t)×2=2t+6. ∵S随t的增大而增大, ∴当t=1时,S最大=8. (Ⅱ)当1<t≤2时,见图③. 设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G. 重叠部分为五边形OQIGN. OQ=4-2t,FQ=2-(4-2t)=2t-2,FI=FQ=2t-2. ∴三角形QFI的面积=(2t-2)(2t-2)=2(t2-2t+1). 由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面积=2t+6, ∴S=2t+6-2(t2-2t+1)=-2(t2-3t-2). ∵-2<0, ∴当t=时,S有最大值,S最大=. 综上所述:当0≤t≤1时,S=2t+6;当1<t≤2时,S=-2t2+6t+4; ∵>8, ∴S的最大值是.
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