(1)∵点A在直线y=x上, ∴设点A的坐标为(m,m) 过点A作AD⊥x轴,交x轴于点D, ∵点A是二次函数图象的顶点, ∴直线AD是其对称轴, ∴点D是OB的中点. ∴OD=DB=AD, ∴△AOB是等腰直角三角形.
(2)若△AOB的外接圆半径为1,则OC=BC=AC=1; ∴A(1,1),B(2,0); 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1,则有: a×(2-1)2+1=0,a=-1; ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1;
(3)存在,点P(,); 此题要分两种情况: ①等腰△POC以CO、PC为腰,此时C与A、B重合,显然此种情况不符合题意; ②等腰△POC以PO、PC为腰,此时P点在CO的垂直平分线上,所以P点的横坐标为; 代入抛物线的解析式中,得:y=-(-1)2+1=; ∴P点的坐标为(,), 综合上述两种情况可知,存在符合条件的P点,且P(,). |