如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求A、B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线的

如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求A、B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线的

题型:不详难度:来源:
如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
(1)求A、B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵y=3x+3,
∴当x=0时,y=3,当y=0时,x=-1,
∴A(-1,0),B(0,3).

(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意,得





0=a-b+c
3=c
0=9a+3b+c

解得





a=-1
b=2
c=3

∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3

(3)∵y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-1)2+4
∴抛物线的对称轴为x=1,设Q(1,a),
(1)当AQ=BQ时,如图,
由勾股定理可得
BQ=


BF2+QF2
=


(1-0)2+(3-a)2

AQ=


AD2+QD2
=


22+a2



(1-0)2+(3-a)2
=


22+a2
,解得
a=1,
∴Q(1,1);
(2)如图:
当AB是腰时,Q是对称轴与x轴交点时,AB=BQ,


(1-0)2+(a-3)2
=


10

解得:a=0或6,
当Q点的坐标为(1,6)时,其在直线AB上,A、B和Q三点共线,舍去,
则此时Q的坐标是(1,0);
(3)当AQ=AB时,如图:


22+a2
=


10
,解得a=±


6
,则Q的坐标是(1,


6
)和(1,-


6
).
综上所述:Q(1,1),(1,0),(1,


6
),(1,-


6
).
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-


3
),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点D为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点D与B、C不重合),过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为m,DE=n,n与m的函数关系式;
(3)点M在y轴上,点N在抛物线上.是否存在以M、N、A、B四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=-
2
3
x2+bx+5
的图象与x轴、y轴的公共点分别为A(5、0)、B,点C在这个二次函数的图象上,且横坐标为3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)如果点D在这个二次函数的图象上,且∠DAC=45°,求点D的坐标.
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抛物线经过A、B、C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求D和E的坐标,并求四边形ABDE的面积.
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已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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东方商厦专销某品牌的计算器,已知每只计算器的进价是12元,售价是20元.为了促销,商厦决定:凡是一次性购买10只以上(不含10只)的顾客,每多买1只计算器,其购买的每只计算器的售价就降低O.10元(假设顾客购买了18只计算器,则每只计算器售价为:20-0.10×(18-10)=19.20元,顾客应付的购货款为:18×19.20=345.60元),但最低售价为16元/只.
(1)求顾客至少一次性购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)设顾客一次性购买x(10<x≤50)只计算器时,东方商厦可获利润y(元),试求y与x之间的函数关系式及商厦的最大利润;
(3)有一天,一位顾客一次性购买了46只计算器,另一位顾客一次性购买了50只计算器,结果商厦发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次获利随着销量的增大而增大,在其他促销条件不变的情况下,商厦应将最低价16元/只至少提高到多少?为什么?
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