如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=-23x2+bx+5的图象与x轴、y轴的公共点分别为A(5、0)、B,点C在这个二次函数的图象上,且横坐标为3.(1)求

如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=-23x2+bx+5的图象与x轴、y轴的公共点分别为A(5、0)、B,点C在这个二次函数的图象上,且横坐标为3.(1)求

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=-
2
3
x2+bx+5
的图象与x轴、y轴的公共点分别为A(5、0)、B,点C在这个二次函数的图象上,且横坐标为3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)如果点D在这个二次函数的图象上,且∠DAC=45°,求点D的坐标.
答案
(1)将点A(5,0)代入,可得:0=-
2
3
×52+5b+5,
解得:b=
7
3

故二次函数解析式为y=-
2
3
x2+
7
3
x+5.

(2)连接BC,

∵抛物线的解析式为y=-
2
3
x2+
7
3
x+5,
∴点B的坐标为(0,5),
∵点C的横坐标为3,
∴点C的纵坐标为6,即可得点C的坐标为(3,6),
则BC=


(3-0)2+(6-5)2
=


10
,AB=5


2
,AC=


(5-3)2+(0-6)2
=


40

∵AB2=BC2+AC2
∴△ABC是直角三角形,
∴tan∠BAC=
BC
AC
=


10


40
=
1
2


(3)∵OA=OB=5,∠BOA=90°,
∴∠BAO=45°,
又∵∠DAC=45°,
∴∠DAO=∠BAC,

设点D的坐标为(x,-
2
3
x2+
7
3
x+5),
则tan∠DAO=tan∠BAC=
-
2
3
x2+
7
3
x+5
5-x
=
1
2

解得:x1=-
3
4
,x2=5(舍去),
故点D的坐标为(-
3
4
23
8
).
举一反三
抛物线经过A、B、C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求D和E的坐标,并求四边形ABDE的面积.
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已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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东方商厦专销某品牌的计算器,已知每只计算器的进价是12元,售价是20元.为了促销,商厦决定:凡是一次性购买10只以上(不含10只)的顾客,每多买1只计算器,其购买的每只计算器的售价就降低O.10元(假设顾客购买了18只计算器,则每只计算器售价为:20-0.10×(18-10)=19.20元,顾客应付的购货款为:18×19.20=345.60元),但最低售价为16元/只.
(1)求顾客至少一次性购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)设顾客一次性购买x(10<x≤50)只计算器时,东方商厦可获利润y(元),试求y与x之间的函数关系式及商厦的最大利润;
(3)有一天,一位顾客一次性购买了46只计算器,另一位顾客一次性购买了50只计算器,结果商厦发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次获利随着销量的增大而增大,在其他促销条件不变的情况下,商厦应将最低价16元/只至少提高到多少?为什么?
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已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程y1-y2=0的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(Ⅰ)若α=
1
3
,β=
1
2
,求函数y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为
1
123
时,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,当0<t<1时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
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如图1,直线y=-
2
3
x+2
与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(-1,0).

(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;
(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),过点P作直线ay轴,交抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S.
①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
②求S的最大值,并判断此时△OBE的形状,说明理由;
(3)过点P作直线bx轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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