如图，已知抛物线y=34x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=34tx-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=

x²+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=

x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是______，b=______，c=______；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）（0，-3），b=-

，c=-3；

（2）由（1），得y=

x²-

x-3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=

x-3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①当H在Q、B之间时，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②当H在O、Q之间时，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
综合①，②得QH=|4-8t|；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得

4-8t

，
∴t=

．
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得

4-8t

，
即t²+2t-1=0．
∴t₁=

-1，t₂=-

-1（舍去）．
②当H在O、Q之间时，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得

8t-4

，
∴t=

．
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得

8t-4

，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
综上所述，存在t的值，t₁=

-1，t₂=

，t₃=

．

举一反三

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=

相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知抛物线y=ax²+bx+c经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式．

题型：不详难度：| 查看答案

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如图1）．动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止．两点运动时的速度都是1cm/s．而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）（如图2）．分别以x，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN．
（1）分别求出梯形中BA，AD的长度；
（2）写出图3中M，N两点的坐标；
（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在答题卷的图4（放大了的图3）中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y=

于P，Q两点．
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．

题型：不详难度：| 查看答案

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，且AB∥CD，连接AD和BC，
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四点在同一抛物线上，请在图中建立适当的直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
（3）在（2）中所求抛物线上是否存在点P，使得S_△PAB=

S_{四边形ABCD}？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案