(1)∵l1⊥l2, ∴∠BCO+∠ACO=90°, ∵∠BCO+∠OBC=90°, ∴∠OBC=∠OCA ∵∠BOC=∠AOC=90° ∴BOC∽△COA;
(2)由△BOC∽△COA得=,即= ∴CO= ∴点C的坐标是(0,-); 由题意,可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx- 把A(3,0),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+bx-,得, 解这个方程组,得 ∴抛物线的函数解析式为y=x2-x-;
(3)S=S△OBC+S△AOP+S△COP =OB•CO+×OA(-y)+CO•x =-3[(x2-2x-3)×2]+ =-x2+x+2(0<x<3) 当x=属于(0<x<3)时,S的最大值是;
(4)可求得直线l1的解析式为y=x-,直线l2的解析式为y=-x- 抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线顶点的坐标为(1,-) 由此可求得点D的坐标为(1,-2), (i)以点D为圆心,线段DC长为半径画圆弧,交抛物线于点E1,由抛物线对称性可知点E1为点C关于直线x=1的对称点 ∴点E1的坐标为(2,-),此时△E1CD为等腰三角形; (ii)当以点C为圆心,线段CD长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点E1和点B,而三点B、C、D在同一直线上,不能构成三角形; (iii)作线段DC的中垂线l,交CD于点M,交抛物线于点E2,E3,交y轴于点F 因为OB=1,CO=,所以∠MCF=∠D=∠OCB=30°,CM=CD=1 可求得CF=,OF= 因为直线l与l1平行,所以直线l的解析式为y=x- 所以 解得x=1,或x=2, 说明E2就是顶点(1,-),E3就是E1(2,-), 综上所述,当点E的坐标分别为(2,-),(1,-)时,△DCE为等腰三角形. |