在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶

在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-
1
2
x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究
PQ
NP+BQ
是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3)
∴点B的坐标为(4,-1).
∵抛物线过A(0,-1),B(4,-1)两点,





c=-1
-
1
2
×16+4b+c=-1
,解得:b=2,c=-1,
∴抛物线的函数表达式为:y=-
1
2
x2+2x-1.

(2)i)∵A(0,-1),C(4,3),
∴直线AC的解析式为:y=x-1.
设平移前抛物线的顶点为P0,则由(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上.
∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m-1),
则平移后抛物线的函数表达式为:y=-
1
2
(x-m)2+m-1.
解方程组:





y=x-1
y=-
1
2
(x-m)2+(m-1)

解得





x1=m
y1=m-1





x2=m-2
y2=m-3

∴P(m,m-1),Q(m-2,m-3).
过点P作PEx轴,过点Q作QFy轴,则
PE=m-(m-2)=2,QF=(m-1)-(m-3)=2.
∴PQ=2


2
=AP0
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为2


2
(即为PQ的长).
由A(0,-1),B(4,-1),P0(2,1)可知,
△ABP0为等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=2


2

如答图1,过点B作直线l1AC,交抛物线y=-
1
2
x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点.
∴可设直线l1的解析式为:y=x+b1
∵B(4,-1),∴-1=4+b1,解得b1=-5,
∴直线l1的解析式为:y=x-5.
解方程组





y=x-5
y=-
1
2
x2+2x-1
,得:





x1=4
y1=-1





x2=-2
y2=-7

∴M1(4,-1),M2(-2,-7).

②当PQ为斜边时:MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为


2

如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,-1).
由A(0,-1),F(2,-1),P0(2,1)可知:
△AFP0为等腰直角三角形,且点F到直线AC的距离为


2

过点F作直线l2AC,交抛物线y=-
1
2
x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点.
∴可设直线l2的解析式为:y=x+b2
∵F(2,-1),∴-1=2+b2,解得b2=-3,
∴直线l2的解析式为:y=x-3.
解方程组





y=x-3
y=-
1
2
x2+2x-1
,得:





x1=1+


5
y1=-2+


5





x2=1-


5
y2=-2-


5

∴M3(1+


5
,-2+


5
),M4(1-


5
,-2-


5
).
综上所述,所有符合条件的点M的坐标为:
M1(4,-1),M2(-2,-7),M3(1+


5
,-2+


5
),M4(1-


5
,-2-


5
).

ii)
PQ
NP+BQ
存在最大值.理由如下:
由i)知PQ=2


2
为定值,则当NP+BQ取最小值时,
PQ
NP+BQ
有最大值.

如答图2,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q.
连接QF,FN,QB′,易得FNPQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=


22+42
=2


5

∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2


5

PQ
NP+BQ
的最大值为
2


2
2


5
=


10
5
举一反三
如图,在直角坐标系中,OA=OC,AB=4,tan∠BCO=
1
5
,二次函数y=ax2+bx+c图象经过A、B、C三点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径.
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如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(  )
A.-
2
3
B.-


2
3
C.-2D.-
1
2

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新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12.
(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;
(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);
(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多,最多利润是多少万元?
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如图,点C是半圆O的半径OB上的动点,作PC⊥AB于C.点D是半圆上位于PC左侧的点,连接BD交线段PC于E,且PD=PE.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4


3
,PC=8


3
,设OC=x,PD2=y.
①求y关于x的函数关系式;
②当x=


3
时,求tanB的值.
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已知二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象经过点A(c,-2),,求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3.
题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字.
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由;
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.
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