已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A（c，-2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3．题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字．（1）

题型：不详难度：来源：

已知二次函数y=

x²+bx+c的图象经过点A（c，-2），

，求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3．
题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由；
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整．

答案

（1）能．
由结论中的对称轴x=3，得-

2×(

)

=3，则b=-3
又因图象经过点A（C，-2），
则：

c2-3c+c=-2
c²-4c+4=0
（c-2）²=0
∴c₁=c₂=2
∴c=2
∴二次函数解析式为y=

x2-3x+2．

（2）补：点B（0，2）（答案不唯一）．

举一反三

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点D，如图所示．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）求出抛物线的函数解析式；
（3）当直线l₁绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，它与抛物线的另一个交点为P（x，y），求四边形APCB面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值；
（4）当直线l₁绕点C旋转时，它与抛物线的另一个交点为E，请找出使△ECD为等腰三角形的点E，并求出点E的坐标．

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如图，C（0，3），过点C开口向下的抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右边），已知∠CB

A=45°，tanA=3；
（1）求A、B两点坐标；
（2）求抛物线解析式及抛物线顶点D的坐标；
（3）E（0，m）为y轴上一动点（不与点C重合）
①当直线EB与△BCD外接圆相切时，求m的值；
②指出点E的运动过程中，∠DEC与∠DBC的大小关系及相应m的取值范围．

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如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．

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某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（Ⅰ）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？
（Ⅱ）该商品平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

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