如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的顶点P在x轴上,与y轴交于点Q,过坐标原点O,作OA⊥PQ,垂足为A,且OA=2,b+ac=3.(1

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的顶点P在x轴上,与y轴交于点Q,过坐标原点O,作OA⊥PQ,垂足为A,且OA=2,b+ac=3.(1

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的顶点P在x轴上,与y轴交于点Q,过坐标原点O,作OA⊥PQ,垂足为A,且OA=


2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求抛物线的解析式.
答案
(1)∵抛物线的顶点在x轴上,即抛物线与x轴只有一个交点,
∴△=b2-4ac=0,即b2=4ac;
已知b+ac=3,即ac=3-b,
可得:b2=4(3-b),
解得b=2,b=-6(舍去);
故b的值为2;

(2)由(1)知:抛物线的解析式为y=ax2+2x+c,
则有:P(-
1
a
,0),Q(0,c);
∴OP=-
1
a
,OQ=-c;
在Rt△OPQ中,由勾股定理得:QP=


OP2+OQ2
=


a2c2+1
a2

∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OA,则有:


a2c2+1
a2
×


2
=(-
1
a
)×(-c),化简得:
2a2c2+2
a2
=
c2
a2

由于ac=3-b=1,即a=
1
c

得:2+2=c2
解得c=-2(正值舍去);
∴a=
1
c
=-
1
2

故抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2+2x-2.
举一反三
如图,等腰直角三角形ABC的斜边AB所在的直线上有E,F两点,且∠E+∠F=45°,AE=3,设AB=x,BF=y,则y与x的函数关系式为______.
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如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足为B、D,且AD与BC相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果AB的位置不变,而DC水平向右移动K(K>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于K的函数解析式;
(3)过A、E、E′三点的抛物线中,是否存在一条抛物线,它的顶点在x轴上?若存在,请求出k的值;若不存在,说明理由.
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如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为线段AB上一点,连接PC.将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接BF.设点P的坐标为(t,0),△PBF的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出当△PBF的面积最大时,点P的坐标及此时△PBF的最大面积;
(3)在(2)的条件下,点P在线段OB上移动的过程中,△PBF能否成为等腰三角形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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如图,已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,抛物线y=-
2
3
x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是OC上的动点(不与C重合)连接EB,过B点作BF⊥BE交y轴与F
(1)求b,c的值及D点的坐标;
(2)求点E在OC上运动时,四边形OEBF的面积有怎样的规律性?并证明你的结论;
(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问:当m为何值时S最小,并求出这个最小值.
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在平面直角坐标系xOy中(如图),已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)和点B(3,0),其顶点记为点C.
(1)确定此二次函数的解析式,并写出顶点C的坐标;
(2)将直线CB向上平移3个单位长度,求平移后直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,能否在直线上l找一点D,使得以点C、B、D、O为顶点的四边形是等腰梯形.若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
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