(1)(法一)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),三点代入解析式得:, 解得; ∴y=-x2+x+2; (法二)设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1), 把(0,2)代入解析式得:2=-5a, ∴a=-; ∴y=-(x+1)(x-5), 即y=-x2+x+2;
(2)①过点F作FD⊥x轴于D,如图1, 当点P在原点左侧时(-1≤t<0),BP=5-t,DF=-t; ∴S△PBF=BP×DF=t2-t(-1≤t≤0), 当t=-1时,S△PBF有最大值2;此时P点坐标为(-1,0);
②当点P在原点右侧时(0<t≤5),如图2,DF=t,BP=5-t; ∴S△PBF=BP×DF=-t2+t(0<t≤5); 当t=时,S△PBF有最大值;此时坐标为(,0); 综上S与t的函数关系式为S=, 当t=时,S△PBF有最大值;此时坐标为(,0);
(3)能; 设P点坐标为(t,0), 当-1≤t≤0时,这样的等腰三角形不存在, 当0<t≤5时,如图3,F点坐标为(2+t,t), PF=,FB=, 若△PBF是等腰三角形,则PF=FB, 解得t=1或t=5(不符合题意舍去), 故当t=1时△PBF是等腰三角形. |