如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，（I）求此二次函数的解析式．（II）P为线段AB上一

题型：不详难度：来源：

如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，
（I）求此二次函数的解析式．
（II）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过P点作x轴的垂线PC与（I）中的二此函数的图象交于Q点，设线段PQ的长为m，P点的横坐标为x，求出函数m与自变量x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（III）线段AB上是否存在一点，使（II）中的线段PQ的长等于5？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由直线AB：y=x+2 知，A（0，2）；
已知抛物线的顶点坐标为（2，0），可设其解析式为 y=a（x-2）²，代入A点坐标得：
2=a（0-2）²，a=

1

2

∴抛物线的解析式：y=

1

2

（x-2）²=

1

2

x²-2x+2．

（Ⅱ）已知点P的横坐标为x，则P（x，x+2）、Q（x，

1

2

x²-2x+2）；
则：PQ=（x+2）-（

1

2

x²-2x+2）=-

1

2

x²+3x
由于点P在线段AB上移动，且不与A、B重合，所以 0＜x＜6；
综上，m=-

1

2

x²+3x，0＜x＜6，

（Ⅲ）不存在．
理由：将PQ=5代入（Ⅱ）的函数解析式中，得：
5=-

1

2

x²+3x，化简得：x²-6x+10=0
△=36-40＜0
∴不存在符合条件的P点．