如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF
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如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF
题型:不详
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如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE
∥
DQ交AQ于E,作PF
∥
AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE
∽
△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S
△PEF
关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S
△PEF
取得最大值,
最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
答案
(1)证明:∵PE
∥
DQ
∴△APE
∽
△ADQ;
(2)同(1)可证△APE
∽
△ADQ与△PDF
∽
△ADQ,及S
△PEF
=
1
2
S
平行四边形PEQF
,
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方,
∴
S
△AEP
S
△AQD
=
(
x
3
)
2
,
S
△DPF
S
△ADQ
=
(
3-x
3
)
2
,
∵S
△AQD
=
1
2
AD×AB=
1
2
×3×2=3,
得S
△PEF=
1
2
S
平行四边形PEQF
=
1
2
(S
△AQD
-S
△AEP
-S
△DFP
)
=
1
2
×[3-
(
x
3
)
2
×3-
(
3-x
3
)
2
×3]
=
1
2
(-
2
3
x
2
+2x)
=-
1
3
x
2
+x
=-
1
3
(x-
3
2
)
2
+
3
4
.
∴当x=
3
2
,即P是AD的中点时,S
△PEF
取得最大值
3
4
.
(3)作A关于直线BC的对称点A′,连DA′交BC于Q,则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点.
举一反三
山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,每千克核桃应降价多少元?
(2)在(1)问的条件下,平均每天获利不变,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
(3)写出每天总利润y与降价x元的函数关系式,为了使每天的利润最大,应降价多少元?
题型:不详
难度:
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如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点
重合,点A在x轴上,点B在y轴上
OB=
3
,∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BE.
(1)求点E和点D的坐标;
(2)求经过O、D、A三点的二次函数解析式;
(3)设直线BE与(2)中二次函数图象的对称轴交于点F,M为OF中点,N为AF中点,在x轴上是否存在点P,使△PMN的周长最小,若存在,请求出点P的坐标和最小值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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对于二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0),如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,此时称该点
(x,y)为整点,该函数的图象为整点抛物线(例如:y=x
2
+2x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______(不必证明);
(2)请直接写出整点抛物线y=x
2
+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中(不包括边界)所含的整点个数有______个.
题型:不详
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已知抛物线y=ax
2
+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为
2
2
,
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(x
1
,0)、B(x
2
,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长.
题型:不详
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如图,已知抛物线y=-x
2
+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF
∥
BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
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