(1)据题意可得∠1=∠ABO,OB=BD=,DE=OE, ∵Rt△AOB中,∠BAO=30°, ∴∠ABO=60°,OA=3,AB=2, ∴∠1=30°,A(3,0),B(0,). Rt△EOB中,∵tan∠1= ∴= ∴OE=1,∴E点坐标为(1,0); 过点D作DG⊥OA于G,易知D是AB的中点,且A(3,0),B(0,), 则OG=OA=1.5,DG=OB=; 故D(1.5,).
(2)∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点,设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2); 据(1)得A点坐标为(3,0), ∴x1=0,x2=3, 把D点坐标(1.5,)代入y=a(x-0)(x-3) 得a=-, ∴二次函数的解析式为y=-x2+x.
(3)设直线BE的解析式为y=k1x+b1,把(0,)和(1,0)分别代入y=k1x+b1 得:, 直线BE的解析式为y=-x+, ∵把x=1.5代入y=-x+得:y=-, F点坐标为(1.5,-),M点坐标为(,-),N点坐标为(,-), M点关于x轴对称的点的坐标为M"(,), 设直线M"N的解析式为y=k2x+b2,把(,)和(,-)分别代入y=k2x+b2 得:k2=-,b2=, ∴直线M"N的解析式为y=-x+, 把y=0代入y=-x+ 得x=, ∴x轴上存在点P,使△PMN的周长最小,P点坐标为(,0),PM==,PN==, ∴△PMN周长=++=+.
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