(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1), ∴设y=a(x-2)2-1,将C(0,3)代入,得: 3=a(0-2)2-1, 解得:a=1. ∴y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3;
(2)∵直线y=kx+b过(3,0),(0,3),则: , 解得:, ∴AB的解析式为:y=-x+3. 由题意有P(t,t2-4t+3),D(t,-t+3), ∴PD=l=(-t+3)-(t2-4t+3)=-t2+3t, ∴当t=时,l取最大值, 此时P点的坐标为[,()2-4×()+3], 即P(,-).
(3)①若AP是平行四边形的一条边时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F. 此时当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形. ∵P(,-), ∴可令F(x,)或F(x,-). ∴x2-4x+3=或x2-4x+3=-, 解之得x1=,x2=,x3=,x4=. 但当x1=时,F点与P点重合,不能构成平行四边形. 满足条件的F点有三个,即F1(,)、F2(,)、F3(,-); ②当AP是平行四边形的一条对角线时,要使以A、P、E、F为顶点的平行四边形, 则有PF∥AE,即F2的纵坐标与P点的纵坐标相同,即x2-4x+3=-, 此种情况在①中已求得F3的坐标. 综上所述,满足条件的F点的坐标有三个, 即F1(,)、F2(,)、F3(,-).
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