如图1,已知直线y=25x+2与x轴交于点A,交y轴于C、抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点,抛物线交x轴于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)点Q

如图1,已知直线y=25x+2与x轴交于点A,交y轴于C、抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点,抛物线交x轴于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)点Q

题型:不详难度:来源:
如图1,已知直线y=
2
5
x+2与x轴交于点A,交y轴于C、抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点,抛物线交x轴于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q在抛物线上,且有△AQC和△BQC面积相等,求点Q的坐标;
(3)如图2,点P为△AOC外接圆上
ACO
的中点,直线PC交x轴于D,∠EDF=∠ACO.当∠EDF绕D旋转时,DE交AC于M,DF交y轴负半轴于N、问CN-CM的值是否发生变化?若不变,求出其值;若变化,求出变化范围.
答案
(1)由直线AC的解析式可得:A(-5,0),C(0,2);
代入抛物线的解析式中可得:





25a-20a+b=0
b=2

解得





a=-
2
5
b=2

故抛物线的解析式为:y=-
2
5
x2-
8
5
x+2.

(2)易知B(1,0);
①当Q在AC段的抛物线上时,
△ACQ和△BCQ同底,若它们的面积相等,则A、B到直线CQ得距离相等,即CQAB;
由于抛物线的对称轴为x=-2,
故Q(-4,2);
②当Q在线段AC外的直线上时,
△ACQ的面积为:
1
2
AL•|yC-yQ|,
△BCQ的面积为:
1
2
BL•|yC-yQ|,
若两个三角形的面积相等,
那么AL=BL,
即L是线段AB的中点,即L(-2,0);
易知直线CL的解析式为:y=x+2,联立抛物线的解析式得:





y=-
2
5
x2-
8
5
x+2
y=x+2

解得





x=0
y=2





x=-
13
2
y=-
9
2

故Q(-
13
2
,-
9
2
);
综上所述,存在两个符合条件的点Q,且坐标为:Q(-4,2)或(-
13
2
,-
9
2
).

(3)如图,设△AOC的外接圆圆心为S;
作∠NDR=∠PDE,交y轴于R;
则∠PDR=∠MDN=∠ACO;
由于P点是
ACO
的中点,由垂径定理知SP必平行于y轴,得:
∠PSC=∠ACO=∠CDR,∠SPC=∠RCD;
则△SCP△DCR,
所以△CDR也是等腰三角形;
即CD=DR,OC=OR;
∵∠PCS=∠DRC,
∴∠DCM=∠DRN,
又∵∠CDM=∠NDR,CD=DR,
∴△DCM≌△DRN,
得CM=RN,
故CN-CM=CR=2OC;
所以CN-CM的值不变,恒为2OC,即4.
举一反三
如图,已知直线y=-
1
2
x+1交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E.
(1)直接写出点C和点D的坐标,C(______)、D(______);
(2)求出过A,D,C三点的抛物线的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的⊙P交BC于H.点A,B在x轴上,点H在y轴上,B点的坐标为(1,0).
(1)求点A,H,C的坐标;
(2)过H点作AC的垂线交AC于E,交x轴于F,求证:EF是⊙P的切线;
(3)求经过A,O两点且顶点到x轴的距离等于4的抛物线解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四边形ABCD是正方形,已知A(5,4),B(10,4):
(1)求点C、D的坐标;
(2)若一次函数y=kx+3(k≠0)的图象过C点,求k的值;
(3)在(2)的条件下,①若将直线l:y=kx+3向下平移a个单位,将正方形分为上下两部分的面积比为7:3,试求出a的值;②若将直线l:y=kx+3平移后与以A为圆心,AC为半径的圆相切,直接写出平移后的直线的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4).该抛物线顶点为P.
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)求△PAB的面积;
(3)若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.