已知如图,对称轴为直线x=4的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B、O.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AB,平移AB所在的直线,使其经过原点O,得到直线l

已知如图,对称轴为直线x=4的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B、O.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AB,平移AB所在的直线,使其经过原点O,得到直线l

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已知如图,对称轴为直线x=4的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B、O.
(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AB,平移AB所在的直线,使其经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点,当△PAB的周长最小时,求点P的坐标.
(3)当△PAB的周长最小时,在直线AB的上方是否存在一点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形与△POB相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.(规定:点Q的对应顶点不为点O)
答案
(1)∵对称轴为直线x=-
2
2a
=4,
∴a=-
1
4

∴抛物线解析式为y=-
1
4
x2+2x;

(2)∵y=-
1
4
x2+2x=-
1
4
(x2-8x+16)+4=-
1
4
(x-4)2+4,
∴顶点坐标为A(4,4),
令y=0,则-
1
4
x2+2x=0,
解得x1=0,x2=8,
∴点B的坐标为(8,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b,





4k+b=4
8k+b=0

解得





k=-1
b=8

所以,直线AB的解析式为y=-x+8,
∵直线l为直线AB平移至经过原点的直线,
∴直线l的解析式为y=-x,
如图,取点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于点P,则△PAB的周长最小,
此时,点A(-4,-4),
点P为线段A′B的中点,
-4+8
2
=2,
-4+0
2
=-2,
∴点P的坐标为(2,-2);

(3)∵直线AB的解析式为y=-x+8,
∴直线AB与x轴、对称轴的夹角的锐角为45°,
又∵lAB,
∴∠POB=45°,
根据勾股定理,AB=


42+(8-4)2
=4


2

PO=


22+22
=2


2

①∠BAQ=∠POB=45°时,∵△POB△BAQ,
PO
AB
=
OB
AQ

2


2
4


2
=
8
AQ

解得AQ=16,
∴Q的横坐标为16+4=20,纵坐标为4,
∴点Q的坐标为(20,4);
②∠ABQ=∠POB=45°时,∵△POB△ABQ,
PO
AB
=
OB
BQ

2


2
4


2
=
8
BQ

解得BQ=16,
∴点Q的坐标为(8,16),
综上所述,存在点Q(20,4)或(8,16)使以A,B,Q为顶点的三角形与△POB相似.
举一反三
如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴于点C,点D为对称轴l上的一个动点.
(1)求当AD+CD最小时,点D的坐标;
(2)以点A为圆心,以AD为半径作⊙A
①证明:当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切.
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标______.
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如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,其顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC外接圆的半径及外心的坐标;
(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大值.
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某跑道的周长为400m且两端为半圆形,要使矩形内部操场的面积最大,直线跑道的长应为多少?
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如图,一元二次方程x2+2x-3=0的两根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C,B的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点G,则P点坐标为______,G点坐标为______;
(3)在x轴上有一动点M,当MG+MA取得最小值时,求点M的坐标.
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已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示.
(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义;
(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的函数关系式;在图2的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果;
(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.
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