如图，已知抛物线y=-34x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C（0，3）的直线y=-34tx+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=-

3

4

x²+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C（0，3）的直线y=-

3

4t

x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）确定b，c的值；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）已知抛物线过A（-1，0）、C（0，3），则有：

- 3 4 -b+c=0 c=3

，
解得

b= 9 4 c=3

，
因此b=

9

4

，c=3；

（2）令抛物线的解析式中y=0，则有-

3

4

x²+

9

4

x+3=0，
解得x=-1，x=4；
∴B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO=

3

5

，cos∠CBO=

4

5

，
在直角三角形BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；
∴OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直线的解析式中y=0，则有0=-

3

4t

x+3，x=4t，
∴Q（4t，0）．

（3）存在t的值，有以下三种情况
①如图1，当PQ=PB时，
∵PH⊥OB，则QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴t=

1

3

，
②当PB=QB得4-4t=5t，
∴t=

4

9

，
③当PQ=QB时，在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²，
∴（8t-4）²+（3t）²=（4-4t）²，
∴57t²-32t=0，
∴t=

32

57

，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴当t=

1

3

或

4

9

或

32

57

时，△PQB为等腰三角形．