如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：

题型：不详难度：来源：

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

答案

（1）∵点D是OA的中点，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx．
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴抛物线的解析式为y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
∵抛物线y=x²-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
设CE所在直线的解析式为y=kx+b，
则有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

．
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
点P满足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故点P的坐标为(

1

2

，

1

2

)．
△PED的周长即是CE+DE=

10

+

2

；

（4）假设存在符合条件的P点．矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
①当P点在N点上方时，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，故P（2，2）；
②当P点在N点下方时，设P（a，a），则：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=

1

2

或a=2，故P（

1

2

，

1

2

），
综上可知：存在点P，使∠CPN=90度．其坐标是(

1

2

，

1

2

)或（2，2）．